Frage von ReginaSuperSofi, 48

Wie Konvergenz betrachten bei einer rekursiv definierten Folge?

Hallo, ich habe folgende Folge: s0 = 0, sn+1 = sn + 1 / 2^n.

Nun möchte ich den Grenzwert zu dieser konvergenten Folge betrachten und gehe wie folgt vor:

Grenzwert a = sn+1, a = a + 1/ 2^a

Nun schaffe ich jedoch die Gleichung nicht korrekt aufzulösen, weil ich bei 0 = 1/2^a stehen bleibe, einzige Idee die ich hatte war 0 = 2^-a zu bilden, jedoch ist ein Logarithmus durch 0 nicht definiert. Hoffe Ihr könnt mir helfen. Der Grenzwert muss 2 ergeben.

Antwort
von polygamma, 29

Überlege dir, dass die geschlossene Form der rekursiv definierten Folge lautet: s_n = 2 - 2^(1-n)

Dann musst du nur zeigen, dass s_n für n gegen unendlich gegen 2 strebt, was offensichtlich ist.

Kommentar von ReginaSuperSofi ,

Dass meine Gleichung falsch seien muss wurde mir klar beim umstellen der Gleichung,
a = a + 1/2^a  => a * 2^a = a  => 2^a = 1  => a = 0, was falsch wäre - ich verstehe jetzt nicht ganz die von dir aufgestellte Gleichung

Kommentar von polygamma ,

Du kannst selbst überlegen, wie man darauf kommen kann, oder die Gleichung einfach durch vollständige Induktion beweisen.

Kommentar von ReginaSuperSofi ,

ich verstehe wieso die Folge gegen 2 konvergiert, jedoch nicht wie die Formulierung korrekt lautet.

s_n +1 = s_n + 1 / 2^n

s_n beinhaltet den alten Wert und wird immer weiter summiert, 1 / 2^n konvergiert gegen 0, somit kann der höchste Wert der Folge nur 2 sein, bei der Reihe würde es gegen Unendlich divergieren

Kommentar von polygamma ,

Nein, das ist keine gute Begründung. Es ist überhaupt nicht klar, warum genau 2 der Grenzwert sein soll, und nicht eine andere endliche Zahl.

Kommentar von ReginaSuperSofi ,

lässt man sich von Excel z.B. die Folgeglieder ausgeben sieht man, dass die Folge gegen 2 konvergiert. Mit s_n wird der vorherige Wert genommen und mit einer immer kleiner werdenden Zahl addiert, spätestens bei 2^10 ist die zu addierende Zahl unbedeutend klein.

Ich glaube du möchtest jedoch keine Hilfe sein ...

Kommentar von polygamma ,

Das ist keine korrekte mathematische Begründung, das ist mein Punkt. Heuristisch einfach viele Werte ausgeben lassen, kann eine Idee liefern, was der Grenzwert ist - 2 ist auch richtig - aber das ist nicht ausreichend. Du musst beweisen, dass es so ist. Und wie das gehen kann, habe ich dir bereits mit meiner ursprünglichen Antwort erklärt.

Kommentar von ReginaSuperSofi ,

Geschrieben, jedoch als Erklärung nur "Du kannst selbst überlegen, wie man darauf kommen kann" geliefert. Ich wende mich lieber an den Professor als mir deinen Unsinn anzusehen.

Kommentar von polygamma ,

Vergiss nicht das "oder"... Ich habe dir schon fast die vollständige Lösung präsentiert, sogar mit dem Hinweis, dass du die Gleichung einfach nur mit vollständiger Induktion beweisen kannst und du damit praktisch fertig bist. Und du hast nicht eine einzige Idee geschrieben, wie du dir vorstellen könntest, auf so etwas zu kommen. Dann werde ich dir bestimmt nicht alles von 0 bis 100 präsentieren, sodass du das einfach nur abschreiben brauchst, um 100% der Punkte zu kassieren.

Kommentar von polygamma ,

Noch ein Tipp: Betrachte die Teleskopsumme s_n - s_(n-1) = 1/(2^(n-1))

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