Wie konstruiere ich mit Hilfe eines Rechtecks, eines Lineals und eines Zirkels ein Quadrat mit dem gleichen Flächeninhalt wie das Rechteck?

... komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Diese Konstruktion wird gewöhnlich verwendet, um eine Wurzelzahl zu zeichnen; es geht aber auch für ein Quadrat.

Basis ist der Euklidsche Höhensatz:

h² = p * q
Erklärungen:
h ist die Höhe auf der Seite c im rechtwinkligen Standarddreieck.
q und p sind die Hypotenusenabschnitte (p liegt unter a, q liegt unter b), d.h. q liegt links von p. (Merkwort: Coupé)
Die Höhe wird genau zwischen den Hypotenusenabschnitten gezeichnet.

Konstruktion:

Zunächst zeichnest du das Rechteck mit waagrechter Länge 4. Das sei p mit den Punkten F (links) und B (rechts). Verlängere die Strecke gleich auf der linken Seite über F hinaus. Sodann nimmst du 3 cm in den Zirkel und konstruierst erst einmal das Rechteck nach unten.
Du behältst die 3 cm im Zirkel und schlägst um F einen Kreisbogen nach links, der die Verlängerung von p in A trifft.
AF ist dann q.

Bei F verlängerst du auch die kurze Seite des Rechtsecks nach oben. Das wird die Höhe h, wenn die Konstruktion fertig ist.

Jetzt kommt's. Du konstruierst die Mitte zwischen A und B, wenn du es mit dem Zirkel kannst. Wenn nicht, musst du dir mit dem Geo-Dreieck helfen. Um diesen Mittelpunkt schägst du nach oben einen Kreisbogen (den so gegannten Thaleskreis), der die Höhe h im Punkt C schneidet.
Die Strecke CF ist jetzt genau √12. Wenn du auf dieser Höhe links oder rechts ein Quadrat konstruierst, hat es die Fläche 12 cm², genauso wie das Rechteck unter der Hypotenuse.
Das rechtwinklige Dreieck zu zeichnen, ist unnötig. Wir wollten ja nur das Quadrat haben.

---
Für eine Wurzel nimmt man immer q = 1 und für p die Länge, für die man die Wurzel haben möchte (zumindest für kleinere Wurzeln).

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von seifreundlich2
09.04.2016, 00:58

Ich geh jetzt schlafen. Wer macht mit? :)

0
Kommentar von KDWalther
09.04.2016, 11:47

Prinzipiell geht's aber auch mit dem Kathetensatz :-)

1

Strecke c mit 7 cm zeichnen; (3+4)

Strecke c halbieren mit Zirkel ergibt M (Mittelpunkt)

um M mit Radius c/2 einen Halbkreis ziehen (Thaleskreis)

durch M Senkrechte zu c zeichnen;

Abstand von c zur Kreislinie ist h

Quadrat über h zeichnen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von seifreundlich2
09.04.2016, 00:56

Jetzt den Aus-Knopf drücken :) Gute Nacht!

0
Kommentar von Ellejolka
09.04.2016, 11:08

Volens hat recht; die Höhe nicht durch M, sondern zwischen p und q errichten.

1

Du zeichnest einen Kreis mit dem Zirkel. ziehst die erste Linie so dass die den Kreis genau auf der Hälfte berührt. Dann im rechten Winkel dazu (Rechteck zur Hilfe nehmen) die nächste Linie. Diese sollte den Kreis auch wieder auf der Hälfte berühren. Wenn du das noch zweimal machst hast du ein Quadrat.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von ActionCreeper
09.04.2016, 00:20

Die richtigen Maße wirst du selber nehmen können ;)

0