Frage von LPGamer55, 47

Wie kommt man von dieser Normalform darauf?

Wie kommt man von 3x2-27/18x+4 auf 3[x2-1/2x+4 ich verstehe es Net woher die 1/2 herkommen.(Normalform zur Scheitelpunktform)könntet ihr es mir ausrechnen und nebenbei erklären was ihr da macht?Wäre nett

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 31

Hallo,

hier wurde lediglich die 3 ausgeklammert.

3x²/3=x²; (27/18)x/3=(9/18)x=(1/2)x. In Deiner Aufgabe fehlt übrigens eine Klammer, weil die 4 nicht durch 3 geteilt wurde, sie muß also außerhalb der Klammer bleiben. Es muß heißen: 3[x²-(1/2)x]+4

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von LPGamer55 ,

Danke komme mir grade so dumm vor

Expertenantwort
von DieChemikerin, Community-Experte für Mathe, 18

Hi :)

Erstmal: Du hast zunächst die allgemeine Form, also 

f(x) = ax² +bx +c

Die Normalform wäre

f(x) = x² +px +q

Deine Funktion lautet:

f(x)= 3x² - 27/18x + 4

Zunächst klammern wir die 3 aus, wir teilen alle Faktoren durch 3 und erhalten:

f(x) = 3(x² - (27/18)/3) + 4

Nun haben wir folgenden Bruch (Vorzeichen erstmal vernachlässigt):

(27/18)/3

Wenn wir durch einen Bruch teilen, nehmen wir mit seinem Kehrwert mal. Schreiben wir mal 3 als einen Bruch:

(27/18)/(3/1)

Nun multiplizieren wir nach der Regel mit dem Kehrwert:

(27/18) * (1/3)

Ergibt:

27/(18*3)

= 27/54

Nun einfach kürzen:

1/2

Wir haben also

f(x) = 3(x² -0,5x) + 4

_______________________________________________________________

Nun generell zur Scheitelpunktform.

Ein Beispiel von mir: f(x)= x²+3x+4

Erstmal erklär ich dir nochmal die binomischen Formeln an sich, da du sie - wie du vielleicht schon gemerkt hast - beim Umformen in die Scheitelpunktsform benötigst. Es gibt drei
binomische Formeln:

a) (a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b² = a²+2ab+b²

b) (a-b)² =(a-b)(a-b)= a²-ab-ab+b² = a²-2ab+b²

c) (a+b)(a-b) = a²+ab-ab-b² = a²-b²

=> Hier mal ein hilfreiches Video dazu: 

Bei den quadratischen Funktionen hast du bereits a²+2ab. Der Term am Ende, also b², muss ergänzt werden. Näheres in der "Step-by-step" -Erklärung des Umformens :-)

=> "Problem": Du möchtest die Form f(x)= ax²+bx+c in die Form f(x)= a(x-xs)²+ys - also die Scheitelpunktsform - bringen.

=> Funktion: f(x)= x²+3x+4

=> Du musst erstmal die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren,
falls die Gleichung nicht in Normalform gegeben ist. Du hast aber eine
Gleichung in Normalform gegeben, somit ist dieser Schritt nicht mehr nötig.

=> Nun musst du den Term ohne x ausklammern.

=> Anschließend sieht man, dass du ja in der Klammer bereits (a²+2ab) hast. Um nun den Term b² zu ergänzen, einfach die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren.

=> Da du ja nicht einfach so etwas dazu fügen darfst, musst du das
addierte Quadrat eventuell mit a multiplizieren
(wenn man denn in Schritt 1 durch a teilen musste) und subtrahieren (erklär ich später näher).

=> Jetzt kannst du die Klammer zu einer binomischen Formel
zusammenfassen
. Achtung: Es kommt nie eine dritte binomische Formel vor!

=> Nun die Terme ohne x zusammenfassen.

=> Fertig :-)

Nochmal die dick markierten Schritte:

Schritt 1: Die Gleichung durch den Streckfaktor dividieren

Schritt 2: Term ohne x ausklammern

Schritt 3: Die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und addieren

Schritt 4: Das addierte Quadrat 8mit a multiplizieren und) subtrahieren

Schritt 5: Die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen

Schritt 6: Die Terme ohne x zusammenfassen

_______________________________________________________________

Beispiel an der Gleichung

Gegebene Funktion: f(x) = 3x² -27/18x + 4

Term ohne x ausklammern: f(x)= 3(x² - 0,5x) + 4

Die Zahl vor dem einfachen x durch 2 teilen, quadrieren und zusammenfassen: f(x)= 3(x² - 0,5x + 1/16) + 4

Das addierte Quadrat mit a multiplizieren und subtrahieren: f(x)= 3(x² - 0,5x + 1/16) - 3/16 + 4

Die Klammer zu einer binomischen Formel zusammenfassen: f(x)= 3(x-0,25)² - 1/16 + 4

Terme ohne x zusammenfassen: f(x)= (x - 0,25)² + 61/16

Scheitelpunktsform: f(x)= (x - 0,25)² + 61/16

_______________________________________________________________

Ich erkläre dir nochmal Schritt 3 und 4 näher.

Du hast ja in der Klammer die Form a²+2ab vorliegen. Dabei ist das a immer
x, wenn du eine Umformung in Scheitelpunktsdorm vornimmst.

Wenn du dir jetzt den Term 2ab anschaust - der ist hier von großer
Wichtigkeit - muss dir auffallen, dass die Zahl, die vor dem einfachen x steht,
2b ist (das x ist ja schon a). Wenn du nun 2b durch 2 teilst, erhältst du ja b
- genau Dies musst du hier auch tun, um b zu erhalten.

Um nun b² zu erhalten, musst du einfach die Zahl, die du für b erhalten
hast, quadrieren (also mit sich selbst mal nehmen). Dieses Quadrat addierst du einfach zu a²+2ab und fertig ist die binomische Formel.

Aber: Du darfst ja bei einer Äquivalenzumformung nicht einfach etwas dazu
nehmen!

Jetzt kommt da die Subtraktion ins Spiel: Das b², was du eben hinzugefügt
hast, musst du (außerhalb der Klammer!) wieder abziehen, wie in Schritt 4
gezeigt.

Nun formst du einfach, wie in den restlichen Schritten gezeigt, weiter um.

Mit der Scheitelpunktsform, die du nun erhalten hast, kannst du den
Scheitelpunkt ermitteln:

Da du weißt, dass die Scheiteplunktsform f(x)= (x-xs)²+ys bzw. f(x)=
(x-d)²+e (je nachdem wie du es gelernt hast) und die entsprechenden Koordinaten des Scheitelpunktes S(xs|ys) bzw. S(d|e) sind, kannst du nun ganz einfach den Scheitelpunkt ablesen.

_______________________________________________________________

Vielleicht konnte ich ja helfen - bei Fragen melde dich :)

LG

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 12

Allgemeine Form y=f(x)= a2 *x^2 +a1 *x + ao

Scheitetkoordinaten x= - (a1)/2 *a2 und y= (- (a1)^2 /(4 *a2) ) + ao

Scheitelpunktform y=f(x)= a2 * (x +b)^2 + c

HINWEIS : Die Formeln für die Scheitelkoordinaten ergeben sich durch die Umformung der allgemeinen Form mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform.

c>0 Verschiebt die Parabel nach oben

c<0 verschiebt nach unten

b>0 verschiebt die Parabel nach links

b<0 verschiebt nach rechts 

HINWEIS : b= - x hier ist x= - (a1)/2 *a2 

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 17

Zitat von dir -->

(Normalform zur Scheitelpunktform)

y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v

u und v können aus a, b und c berechnet werden -->


u = -b / (2 * a)


v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

-------------------------------------------------------------------------------------------------
y = f(x) = 3 * x ^ 2 - (27 / 18) * x + 4

a = 3 und b = -(27 / 18) und c = 4

u = -(-(27 / 18)) / (2 * 3) = 27 / 108 = 1 / 4

v = (4 * 3 * 4 - ( -(27 / 18)) ^ 2) / (4 * 3) = 61 / 16

y = f(x) = 3 * x ^ 2 - (27 / 18) * x + 4 = 3 * (x - 1 / 4) ^ 2 + 61 / 16

Kommentar von LPGamer55 ,

Ist richtig!Ich habe aber Net verstanden warum die 1/2 oder woher die kam:)

Kommentar von DepravedGirl ,

Mit der Scheitelpunktform hat die 1 / 2 jedenfalls nichts zu tun.

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