Frage von HEYIMTHEBOSS, 99

Wie kommt man hier auf die Nullstelle?

Aufgabe: f(x)=(x²-1)²

Sollte ich die pq-Formel anwenden?

Antwort
von fairytale48, 23

X^2-1 kann man als (x-1)(x+1) schreiben. Das ist Null wen eine der Klammern Null ist. Da das zu untersuchende Polynom 4ten Grades ist, gibt es 4 Nullstellen: 1, 1, -1 und -1. Hier führt einfaches Nachdenken am schnellsten zur Lösung!

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 43

f(x) = (x ^ 2 - 1) ^ 2

Binomische Formel anwenden -->


f(x) = x ^ 4 - 2 * x ^ 2 + 1

x ^ 4 - 2 * x ^ 2 + 1 = 0

Substitution -->

z = x ^ 2

z ^ 2 - 2 * z + 1 = 0

pq - Formel anwenden -->

Die pq-Formel wird auf die Form z ^ 2 + p * z + q = 0 angewendet.

pq - Formel -->

z _ 1, 2 = - (p / 2) - / + √( (p / 2) ^ 2 – q )

p = -2

q = 1

p / 2 = -2 / 2 = -1

(p / 2) ^ 2 = (-1) ^ 2 = 1

z _ 1, 2 = - (-1) - / + √(1 – 1 )

z _ 1, 2 = 1 - / + 0

z _ 1 = 1

z _ 2 = 1

Nun folgt die Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = -/+ √(z)

Das wird sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 angewendet.

x _ 1 = - √(1) = -1

x _ 2 = + √(1) = +1

x _ 3 = - √(1) = -1

x _ 4 = + √(1) = +1

Das sind insgesamt 4 Nullstellen.

Die Nullstellen x = -1 und x = +1 sind jeweils sogenannte doppelte Nullstellen.

Kommentar von Wechselfreund ,

Die Klammer muss null werden! Das ist, wie man auch ohne Rechnung sieht, der Fall wenn x² = 1 ist, als für x = 1 oder x = -1.

Kommentar von DepravedGirl ,

Richtig, aber ich habe diese Rechnung gemacht, damit man sieht, dass es doppelte Nullstellen gibt, und dass es insgesamt 4 Stück sind. Außerdem war es eine Gelegenheit zu zeigen, wie man biquadratische Gleichungen durch Substitution löst.

Kommentar von Wechselfreund ,

Naja, ob das dem Fragesteller hilft... Wenn mich jemand nach dem Weg nach Hamburg fragt, erklär ich ihm den doch auch nicht über Rom um zu zeigen, dass ich den Weg dorthin auch kenne ;)

Kommentar von DepravedGirl ,

Naja, geschadet habe ich dem armen Fragesteller wahrscheinlich nicht oder ;-)) ?

Kommentar von Wechselfreund ,

Sicher nicht, hoffe, du bist mir nicht böse...

Kommentar von DepravedGirl ,

Nein, bin ich nicht ;-)) !! so humorlos bin ich dann doch nicht :-))

Antwort
von MatheDelfin, 22

1&-1
Man braucht bei einer so einfachen Gleichung keine Lösungsformel, da man die Lösungen ja fast schon ablesen kann.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

nee, mit Nullproduktsatz

x² - 1=0

x² = 1

x = ± 1

Antwort
von UlrichNagel, 47

Nein, brauchst du nicht! Beschäftige dich mal mit den Schreibformen einer quadratischen Gleichung, dann weist du, was die Scheitelpunktform ist! Lies daraus einfach die Doppelnullstelle ab, denn sie ist gegeben und braucht nicht berechnet werden! Entschuldigung, habe x² in Klammer übersehen, ist ja 4.Grades!


Kommentar von UlrichNagel ,

Hab mich über pq-Formel versichert, ist die gleiche Betrachtung wie bei (x-1)². also eine x^4 bei x=1.

Antwort
von BVBDortmund1909, 18

Nein,das ist ganz leicht,schau:

f (x)=(x^2-1)^2

x^2*2-1^2

x^4-1^2|Wurzel

x^2-1=0|+1

x^2=1|Wurzel

x1=+1

x2=-1

-->Satz des Nullproduktes

LG.

Kommentar von Wechselfreund ,

(a-b)² ist nicht a² - b²,

Die Umformung

f (x)=(x^2-1)^2

x^2*2-1^2

ist grob falsch!

Ebenso

x^4-1^2|Wurzel

x^2-1=0|+1

(x^2 -1)^2 ist x^4 -2x^2 +1 und nicht x^4-1^2

Kommentar von BVBDortmund1909 ,

Ich weiß,das ist ja auch von mir vereinfacht zum besser Verstehen.

Kommentar von Wechselfreund ,

Wie soll man eine Rechnung dadurch besser verstehen, dass Fehler drin sind?!

Antwort
von Phenon, 38

das ist doch schon so geschrieben

die liegt bei +1 und weil x² auch bei -1

https://rechneronline.de/funktionsgraphen/ da kannst du dir dein mal zeichen lassen ^^

Kommentar von Phenon ,

musst es aber so (x^2-1)^2 eingeben

Antwort
von 9NiRe4, 48

Vorher glaube ich noch erste Ableitung bilden

Kommentar von Epicmetalfan ,

glaubste falsch

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