Frage von aslanyav, 77

Wie kommt man hier auf die funktion?

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 30

Du kannst ja ein paar Eigenschaften aus dem Schaubild ablesen:

  • Sattelpunkt bei x = -4
  • Sattelpunkt bei x = 3
  • Nullstelle bei x = -4
  • Nullstelle bei x = 3
  • Minimum bei x = -0,5

Wichtig für den minimalen Grad der Funktion ist die Anzahl der Sattelpunkte, hier gibt es nämlich zwei davon.

Für einen Sattelpunkt muss gelten:

f'(x) = f''(x) = 0 ≠ f'''(x)

Wenn wir f''(x) = 0 setzen, erhalten wir zwei Ergebnisse (da zwei Sattelpunkte), also muss f'' mindestens vom Grad 2 sein.

Wenn f'' vom Grad 2 ist, dann ist f' vom Grad 3 und f vom Grad 4.

Also ist f eine ganzrationale Funktion vierten Grades:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

Formen wir nun die erkannten Eigenschaften in Gleichungen um:

Sattelpunkt bei x = -4:

f'(-4) = 0
f''(-4) = 0
f'''(-4) ≠ 0

Sattelpunkt bei x = 3:

f'(3) = 0
f''(3) = 0
f'''(3) ≠ 0

Nullstelle bei x = -4:

f(-4) = 0

Nullstelle bei x = 3:

f(3) = 0

Minimum bei x = -0,5:

f'(-0,5) = 0

Ableitungen bestimmen:

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
f'''(x) = 24ax + 6b

Wenn du aus diesem ganzen Gleichungsgewirr nun ein Gleichungssystem machst, kannst du damit die Koeffizienten a, b, c, d und e bestimmen.

LG Willibergi

Kommentar von aslanyav ,

Danke, hat mir sehr geholfen! Schönes wochenende 👍🏻👍🏻👍🏻👍🏻

Kommentar von Willibergi ,

Das freut mich, gern geschehen! ;)

LG Willibergi

Kommentar von aslanyav ,

Kurz noch: es kommen aber 4 wendepunkte (davon 2 scheitelpunkte) vor, das heisst ja dann dass f''(x)=0 4 ergebnisse haben muss, sodass dann f(x) eine funktion 6. grades sein muss

Antwort
von Thor1889, 29

Ich würde mit einer Funktion 4. Grades anfangen:

wie @wechselfreund schon schrieb, hat die Funktion bei x = -4 und x = 3 einen Sattelpunkt

Sowie vermutlich bei x = -0,5 ein Extrema

Ableitungen!

Jetzt könntest du noch schauen, wie sich eine Funktion 4. Grades verändert, wenn sich ein x^3 oder x beinhaltet, und ob das auf deine gesuchte funktion zutrifft.

Antwort
von Wechselfreund, 35

Dreifache Nullstelle bei -4 und 3, f(0) = -3,5

Kommentar von Wechselfreund ,

Ratzfaz: f(x) = a(x+4)³·(x-3)³

Aus f(0) = -3,5 folgt  -3,5 = a·64·27 und damit a.

In NRW sind das jetzt Aufgaben für den hilfsmittelfreien Teil, da ist für aufwändige Rechnungen keine Zeit!

Kommentar von Wechselfreund ,

Vorzeichen sind mein Problem: (-3)³ = -27 ! (a muss poaitiv sein, da f gegen + unendlich geht!

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