Frage von HamiltonJR, 99

Wie kommt man bei gegebenem Verlauf der Differentialgleichungen um die Ruhelagen auf die Richtungen ?

ich habe eigentlich gedacht, dass man den Verlauf der Lösung mit wachsenden x-Werten beobachten muss und so auf den Trend kommt, aber das trifft in den 2 Beispielen hier auf dem Foto nicht zu...

wie kommt man darauf, dass die grünen Pfeile in den einzelnen Bereichen genau so verlaufen müssen?

Antwort
von surbahar53, 71

Die Stabilität der Ruhelage einer skalaren autonomen DLG

y' = f(x)

wird durch die Vorzeichenverteilung von f(x) bestimmt.

1)
Die Ruhelage x0 ist asymptotisch stabil, wenn gilt

f(x) > 0 für x < x0
f(x) < 0 für x > x0

2)
Die Ruhelage x0 ist asymptotisch instabil, wenn gilt

f(x) < 0 für x < x0
f(x) > 0 für x > x0

In der ersten Zeichnung gilt für die Ruhelage x0=0 Regel 1, deswegen ist die DLG bei 0 stabil.

In der zweiten Zeichnung (die nichts mit der DLG y'=-x^3 zun tun hat !),
ist eine unbekannte Funktion y' gezeichnet, um stabile und instabile Ruhelagen darzustellen.

Die Ruhelage bei x0=1 ist instabil (Regel 2)
Die Ruhelage bei x0=7 ist stabil (Regel 1)
Die Ruhelage bei x0=10 ist instabil (Regel 2)

Die Pfeile > ... < verweisen in beiden Zeichnungen auf eine stabile Ruhelage. Das ist gleichsam das +-Delta in Umgebung der Ruhelage.

Kommentar von surbahar53 ,

Oder einfacher :

Wenn für eine skalare autonome DLG

y' = f(x) ...

... f(x) > 0 gilt, dann wird dieser Bereich mit dem Pfeil ">" markiert

... f(x) < 0 gilt, dann wird dieser Bereich mit dem Pfeil "<" markiert

Kann man nun die beiden Pfeile > und < beliebig nahe an die Nullstelle schieben, handelt sich um eine stabile Ruhelage.

Kommentar von HamiltonJR ,

ich habe bisher die Lyapunov-Stabilität, die asymptotische und die exponentielle Stabilität kennengelernt.. die aber jeweils immer im Zeitbereich für t-->unendlich und x geht gegen die Ruhelage. Hier irritiert mich, dass die Gleichung der rechten Seite für variierende Lösungen aufgetragen ist.

Kommentar von surbahar53 ,

Betrachtet man z.B. die DLG y' = cos(x), dann hat diese beliebig viele stabile und instabile Ruhelagen.

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