Frage von TSoOrichalcos, 6

Wie kommt man auf Winkelbasiseinheit?

Hallo Leute, meine Frage ist folgende: Warum ist e^ipi=-1 und nicht e^i180? Woher weiß man, dass der Bogenmaß das richtige Maß ist. Ich meine man kann es ja nicht nachprüfen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 5

Das Bogenmaß ist nicht "richtiger" als das Gradmaß, es ist mathematisch einfacher zu handhaben.

Die Ableitung von sin(x) ist cos(x), wenn x im Bogenmaß genommen wird. Wenn x im Gradmaß genommen wird, ist die Ableitung von sin(x) = π/180 * cos(x).

Das führt zu unbequemen Vorfaktoren, v. a. wenn man höhere Ableitungen betrachtet, und die Mathematiker finden, dass es weit weniger Mühe macht, sich einmal für das Bogenmaß zu entscheiden, anstatt sich ständig mit diesen doch recht willkürlichen Vorfaktoren herumzuärgern.

Kennst du die Umrechnungsformeln zwischen komplexer Exponentialfunktion und komplexen Winkelfunktionen?

e^(i x) = cos(x) + i sin(x); cos(x) = 1/2 (e^(i x) + e^(-i x)); sin(x) = 1/(2 i) (e^(i x) - e^(-i x))

Das ist genauso wie mit dem natürlichen Logarithmus. Von unserem Dezimalsystem her würden wir zunächst einmal mit dem dekadischen (Zehner-)Logarithmus rechnen, und das hat man auch jahrhundertelang gemacht. Aber der natürliche Logarithmus ist die Integralfunktion von 1/x, und damit ist die Ableitung von e^x wieder e^x. Die Ableitung von a^x ist a^x * ln(a); hier hat man den zusätzlichen Faktor ln(a) bei jeder Ableitung. Übrigens tritt hier der natürliche Logarithmus wieder auf.

Antwort
von iokii, 6

Weil sonst die Reihenentwicklung mit Sinus und Cosinus nicht passt.

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