Frage von elli758, 58

Wie kommt man auf diese Stammfunktion?

Hallo, ich möchte gerne die Stammfunktion von 4/(2x-3) bilden. Das Ergebnis soll 2*ln(2x-3) sein, allerdings verstehe ich nicht ganz weshalb. Könnte mir da vielleicht jemand helfen?

Antwort
von poseidon42, 29

Sei nun f(x) = 4/(2x-3) , so folgt für die Stammfunktion:

F(x) = S[ f(x)dx ] = S[ 4dx/(2x-3) ]

Nun ist dies etwas "sperrig und unhandlich", am einfachsten kann man hier nun mit der Substitution arbeiten, dabei sein nun:

z = 2x - 3

Daraus folgt:   dz/dx = 2 ---> dx = dz/2

Dies setzen wir nun in obige Gleichung ein und erhalten:

F(x) = S [ 4*dz/(2*z) ]  = 2* S[ dz/z ] 

Und nun solltest du eigentlich nur noch wissen das ln(x) die Stammfunktion zu 1/x ist, daraus folgt nämlich hier analog:

F(x) = 2* ln(z)   

Nun Resubstituieren wir wieder mit z = 2x - 3 , daraus folgt schließlich:

F(x) = 2*ln(2x - 3) 

Damit hast du besagte Stammfunktion ermittelt.

Antwort
von AndyM, 24

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln(x) lautet bekanntlich 1/x. Die Probe würde also schon einmal stimmen, denn 2*ln(2x-3) ist abgeleitet die Stammfunktion.

Beim Integrieren kannst du Dir die Substitutionsregel zu Nutze machen, indem du den Ausdruck im Nenner z.B.: durch ein "u" ersetzt. Anschließend leitest du beides ab und erhält du=2dx <=> also umgestellt nach dx: dx=0,5du.

Anschließend erhältst du das Integral von (0,5*4/u) = (2/u) und das ist integriert eben 2*ln(u). "u" wurde eingangs durch den Neunerausdruck ersetzt; rücksubstituieren ergibt also: 2*ln(2x-3).

Wichtig ist also die Anwendung der Substitutionsregel; ab und an bedarf es hier jedoch an Erfahrung. Hier macht der ln jedoch Sinn. Das sieht man aufgrund des linearen Ausdrucks im Nenner.

Antwort
von MatGaruru, 11

das musst du mit Der Substitutionsmethode lösen.

Ich weiß nicht wie ich dir das hier in diesem Forum erklären soll.

Ok ich versuchs.

wenn ich schreibe "int" - dann stell dir einfach das Integralzeichen vor, ok?

int 4/(2x-3) dx = 4 * int 1/(2x-3) dx

Jetzt wird (2x-3) substituiert , also u = 2x-3

und es gilt dx/du = 2 ---> also dx= du/2

und jetzt alles einfach einsetzen

--> 4* int 1/u du/2

--> 4* 1/2 * int 1/u du

--> 2* int 1/u du

Jetzt wird aufgeleitet : [2* ln (u) ]

Jetzt wird Rücksubstitutiert: u= 2x-3

also haben wir zum Schluss: [2*ln(2x-3)]

Hoffe das ist dir jetzt klar . Ist etwas schwieriger, da man hier keine mathematischen Zeichen eingeben kann.

Antwort
von elli758, 12

Vielen Dank an alle! Ich habe es hinbekommen. :)

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