Frage von VLAKOW, 39

Wie komme ich bei der Matheaufgabe 2x+1/x-1 - (2x-11)(-x-1)/2x²-2 =x/2x-2 eine Definitionsmenge von (-1/1) raus?

Ich habe gerade freiwillig diese Matheaufgabe berechnet und das Ergebnis mit den Lösungen verglichen. Allerdings war meine Definitionsmenge anders als die im Lösungsheft. Kann mir bitte jemand genau erklären, wie ich auf diese Definitionsmenge komme?

Vielen Dank

Antwort
von poseidon42, 30

Ich nehme mal an da steht (In Zukunft bitte mehr Klammern verwenden!):

(2x +1)/(x-1) - (2x -11)(-x -1)/(2x² -2) = x/(2x -2)

Die Definitionsmenge ist ja die Menge aller Zahlen, für die diese Gleichung definiert ist. Sie wäre nicht definiert, wenn eine nicht zulässige Operation durchgeführt wird, zum Beispiel wie hier in dem Fall durch 0 geteilt wird. Wir müssen also alle Nenner darauf überprüfen für welche Werte von x diese den Wert 0 annehmen und somit die Operation "/0" durchgeführt werden würde.

1.) x - 1 = 0  II +1 ----> x(0) = 1

2.) 2x² - 2 = 0    II + 2  II *1/2  ----> x² = 1  ---> x(1) = -1  oder   x(2) = 1

3.) 2x - 2 = 0 II +2  II *1/2  ----> x(3)  = 1  

Fassen wir also zusammen, die Gleichung besitzt also die Definitionsmenge:

ID =  IR\{ 1, -1}

Kommentar von VLAKOW ,

Kann man die Definitionsmenge beim zweiten Nenner auch ohne Wurzelziehen herausfinden?

Kommentar von poseidon42 ,

Wenn du eine Gleichung hast, die wie folgt aussieht:

x² = a    dann gibt es 3 Möglichkeiten, entweder es existiert nur eine Lösung, dass ist nur der Fall für a = 0, oder 2 Lösungen für a > 0. Für a < 0 gibt es zum Beispiel keine reellen Lösungen. Wenn nun das zweite der Fall ist, a > 0, dann kannst du für die Gleichung:

x² = a gleich die beiden Lösunen x(1) = (a)^(1/2)  und  x(2) = -(a)^(1/2)

angeben. Für 1 existiert ja der Spezialfall:

(1)^(1/2) = 1  , da ja 1*1 = 1 = 1²

Also habe ich schon die Wurzel gezogen, da es sich aber um 1 handelt habe ich den Schritt trivialerweise weggelassen.

Kommentar von Geograph ,

Ja, wenn man die 3. binomische Formel kennt:

2x² - 2 = 2 * (x² - 1) = 2 * (x + 1) * (x - 1)

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