Frage von schimmelmund, 62

Wie komme ich auf meine Eigenvektoren?

Ich habe bereits die Eigenwerte gebildet und wollte nun mein erstes Eigenvektor berechnen.

Ich habe zwei gleiche Eigenwerte und zwar Lambda = 1.

Dafür habe ich bereits das Gaußverfahren angewendet und komme nun nicht mehr weiter.

Sieht wie folgt aus:

1 1 2 = 0

0 0 0 = 0

0 0 0 = 0

Wie geht es jetzt weiter? Wie bestimme ich nun mein x1, x2, x3 ? Immerhin fehlen mir 2 Zeilen bei 3 Unbekannten. In der Lösung gibt es aber ein festes Ergebnis und bisher bin ich auf dem richtigen Weg gewesen.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kepfIe, 39

Aus der ersten Zeile ergibt sich, dass x1 = -x2 - 2x3 sein muss, Ansonsten sind keine weiteren Bedingungen da, also kann man x2 und x3 frei wählen. Somit sind deine Eigenvektoren (-2, 0, 1) und (-1, 1, 0). (Das ist praktisch die Basis zum Eigenraum in dem Fall) 

Wenn ich richtig lag und die Matrix vorher die hier war: (deine Eigenwerte auf die Diagonale addiert)  

http://www.wolframalpha.com/input/?i=((2,1,2),(0,1,0),(1,1,3))  

fehlt dir aber ein Eigenwert

Kommentar von schimmelmund ,

Ja ich hab auch noch ein Eigenwert, aber eins nach dem anderen ;-)

Ich kann nicht einfach irgendwas eingeben. Dann kommt ja immer was anderes raus und die Lösung ist eben die, die du nanntest.

Kommentar von kepfIe ,

Effektiv sind das unendlich viele Eigenvektoren, weil man sich ja x2 und x3 aussuchen kann wie man will, aber man nimmt am Ende halt immer den "kleinsten" bzw. einfachsten. So lief das bei uns zumindest.

Kommentar von schimmelmund ,

Ich setze gerne 1 & -1 ein.. dann hätte ich z.B:

(-3, 1, 1)

Kommentar von kepfIe ,

Kannst du zwar machen, aber der Eigenwert 1 hat eine algebraische Vielfachheit von 2. Also macht es auch Sinn sich auf die Suche nach 2 (linear unabhängigen) Eigenvektoren zu machen. (-3, 1, 1) und z.B. (-20, 0, 10) sind zwar solche, aber das sind nich die auf die man intuitiv erstmal kommt (ausser man stellt sich an...).

Kommentar von schimmelmund ,

Wie gehe ich denn auf Nummer sicher keine abhängigen zu nehmen?

Antwort
von Gehilfling, 46

Die Werte können frei gewählt werden.

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