Frage von Jan1999a, 31

Wie komme ich auf folgende Funktionsgleichung?

Hallo, in einer Matheaufgaben habe ich folgende Punktkooridinaten in einem Koordinatensystem:

P1: (-2|0) P2: (4|0) P3: (6|-4)

Die funktionsgleichung ist auch gegeben: f(x)= -0,25x^2 + 0,5x + 2

Jedoch habe ich keine Ahnung wie ich auf diese funktionsgleichung komme? Ich würde mich über einen detaillierten Rechenweg sehr freuen da wir morgen darüber eine Klassenarbeit schreibe... :(

Vielen dank im Voraus für jede hilfreiche Antwort!! :)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Ich nehme an, dass es dir darum geht, zu erfahren, wie du nur durch alleiniges Wissen von drei Punkten auf die Funktionsgleichung kommst.

Die allgemeine Form lautet -->

f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Jetzt stellst du ein Gleichungssystem auf -->

I.) a * (-2) ^ 2 + b * (-2) + c = 0

II.) a * (4) ^ 2 + b * (4) + c = 0

III.) a * (6) ^ 2 + b * (6) + c = -4

------------------------------------------------------------------------------------------------

I.) 4 * a - 2 * b + c = 0

II.) 16 * a + 4 * b + c = 0

III.) 36 * a + 6 * b + c = -4

Wenn du dieses Gleichungssystem auflöst, dann erhältst du -->

a = - 1 / 4

b = 1 / 2

c = 2

f(x) = - (1 / 4) * x ^ 2 + (1 / 2) * x + 2

Antwort
von VaLeRiA5, 31

Zuerst muss man die Punkte ins Koordinatensystem einzeichnen. Da es in der Funktionsgleichung x hoch 2 ist ist es eine Quadratische Funktion. Du musst dann zuerst den Scheitelpunkt herausfinden(der Punkt wo die Kurve zuoberst oder zu unterst ist). weiter weiss ich leider nicht. (war im Test selber nicht so gut) 

schau sonnst hier noch nach:

es ist nicht gleich das selbe aber das Prinzip ist das selbe. 

Antwort
von ArchEnema, 24

Ganz allgemein: Du nimmst die allgemeine Funktionsgleichung. Bei n Punkten ist ein Polynom höchstens (n-1)-ten Grades erforderlich. Bei 3 Punkten also Grad 2, d.h. eine Parabel.

Also ist klar: f(x) = ax² + bx + c

Dann stellst du ein LGS auf, 3 Gleichungen anhand der 3 Punkte (hast ja jeweils x und y=f(x) gegeben).

Gleichungssystem lösen, und heraus kommt a, b und c.

Zu Bedenken: Nicht immer ist ein LGS eindeutig bzw. überhaupt lösbar. Durch nur 2 gegebene Punkte findest du nämlich beliebig viele Parabeln. Und eine senkrechte Gerade musst du auch so erkennen, da kommst du sonst auf eine unendliche Steigung. Also Augen auf, mitdenken. ;-)

Kommentar von Jan1999a ,

Dankeschön :) 

Ich habe meine Frage aber falsch formuliert, besonders mit der Aufgabe, dass Gleichungssystem zu lösen um a,b und c herauszufinden kann ich nicht. Ich habe zahlreiche Videos etc. schon gesehen.. Deswegen war meine Frage auch nach einem Rechenweg wie jemand das Gleichungssystem löst :-) 

Kommentar von ArchEnema ,

P1: (-2|0)

0 = f(-2)

0 = a(-2)^2 + b(-2) + c

P2: (4|0)

0 = f(4)

0 = a(4)^2 + b(4) + c

P3: (6|-4)

-4 = f(6)


-4 = a(6)^2 + b(6) + c

Nochmal schön aufgeschrieben:

G1: 0 = 4a - 2b + c
G2: 0 = 16a + 4b + c
G3: -4 = 36a + 6b + c


Und lösen:

G2 + 2G1 -> G2,1:
0 = 24a + 3c

G3 + 3
G1 -> G3,1:
-4 = 48a + 4c

G3,1 - 2*G2,1:
-4 = -2c

-> c = 2

Einsetzen in G2,1:
0 = 24a + 6

-> 24a = -6 bzw. a = -6/24 = -1/4

Einsetzen in G1:
0 = -4/4 - 2b + 2
0 = -1 -2b +2
2b = 1
b = 1/2

Und da haben wir die Lösung: f(x) = -1/4 x² + 1/2 x + 2

Kommentar von ArchEnema ,

Garz, Formatierung putt. Naja, jedenfalls habe ich 2x G1 zu G2 addiert und 3x G1 zu G3. Beide Male fliegt so das b raus. Und aus den beiden resultierenden Gleichungen durch den selben "Trick" das a rausgeworfen - bleibt c. Und dann das Feld von hinten aufrollen. ;-)

Gleichungen multipliziert man mit eine Zahl, indem man die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens mit dieser Zahl multipliziert.

Kommentar von gilgamesch4711 ,

  Siehe meine Antwort; was ihr da sülzt, ist doch alles höherer Irrsinn. Es mag ja durchaus richtig sein; nur ist es psychisch krank.

Kommentar von ArchEnema ,

Mag umständlich sein, aber das ist es, was der Fragesteller wollte. :-p

Ich habe meine Frage aber falsch formuliert, besonders mit der Aufgabe, dass Gleichungssystem zu lösen um a,b und c herauszufinden kann ich nicht. Ich habe zahlreiche Videos etc. schon gesehen.. Deswegen war meine Frage auch nach einem Rechenweg wie jemand das Gleichungssystem löst :-) 

Was tut er, wenn er vor der Klassenarbeit hockt und blöderweise gerade keine offensichtlichen Nullstellen zur Hand hat? Oder nichtmal eine Funktionsgleichung, sondern nur ein LGS hingeklatscht kriegt?

In diesem Sinne...

Kommentar von gilgamesch4711 ,

  Was euer Lehrer macht, weiß ich nicht. Wäre ich Lehrer, so müsste ich den Standpunkt vertreten

  " Macht was ihr wollt; aber macht es richtig. "

   Immerhin lässt sich so viel sagen, dass gerade die junge Generation der Art Fantasie los und unkritisch ist, dass euch nix Besseres einfällt, alsimmer ein LGS lösen. Mit Recht wurde in einem Kommentar schon darauf verwiesen, dass hier die Gefahr der linearen Abhängigkeit / schlechten Konditionierung besteht - die meisten dieser Aufgaben wären auf Hochschulniveau gar nicht zulässig. In der Uni müsstest du erst nachweisen, dass die vorgelegte Aufgabe einem Typ aus dem Lehrbuch entspricht.

   Ich selbst trete in einen Wettbewerb mit euch; meine Lösung soll nicht allgemein gültig sein, sondern in jedem Sonderfall suche ich die schnellste Strategie. Bisher hat sich mir noch keiner gestellt.

    Aber wenn du von einem Polynom n-ten Grades n Nullstellen gegeben hast; daraus ein LGS zu machen, ist einfach dümmer, als die Polizei erlaubt. Da bekämst du von mir einen Punkteabzug wegen der Metode.

  Ach übrigens; weißt du, warum ich auf Mathelounge deaktiviert bin? Denen ihre Administratoren haben drei Wochen recherchiert, dass meine Metode in keinem Lehrbuch vorkommt .  Und dann haben die Moderatoren 24 Kommentare gepostet; die sollte ich lesen.  Meint ein User:

   " Schrecklich; wenn man für eigene Ideen bestraft wird - nie wieder werde ich Ideen veröffentlichen ... "

Kommentar von ArchEnema ,

Ich glaube du wurdest nicht für deine Lösungen gesperrt, sondern für Aussagen wie "was ihr da sülzt", "höherer Irrsinn" und "psychisch krank".

Niemand hat ein Problem damit, wenn du elegantere Lösungen präsentierst. Aber du solltest bei uneleganteren nicht gleich ausfallend werden.

Für neurotypische Zeitgenossen ist nicht nur wichtig was du sagst, sondern auch wie. Für deine Lösung kriegste meinetwegen 'nen Daumen hoch, aber für dein Gebaren 'nen Tritt in den Allerwertesten. Vielleicht magst du dein Optimierungstalent auch mal dahingehend einsetzen, tut doch nicht weh...

Antwort
von Blvck, 21
  1. Nullstellen (P1 & P2) und P3 in die Produktform einsetzen: y = a(x-x1)(x-x2)

-4= a * (6+2)(6-4) | ausmultiplizieren

-4 = 16a | :16

-0,25 = a

-> y = -0,25(x+2)(x-4) | *Klammern

y = -0,25(x^2-2x-8) | ausmultiplizieren*

y= -0,25x^2+0,5x + 2

Antwort
von gilgamesch4711, 9

  Geht's noch komplizierter als das deprived Girl? Manchmal muss man auch etwas sehen; hier du hast doch schon beide Nullstellen.

   f  (  x  )  =  k  (  x  +  2  )  (  x  -  4  )  =   ( 1  )

                =  k  (  x  ²  -  2  x  -  8  )     (  2  )

   Dieser Leitkoeffizient k ist eh nur eine halbe Unbekannte; den lass ich dir als eigenleistung. Denk mal nach; welche Info haben wir noch nicht ausgenutzt? ( Hinweis: Bitte sei nicht ungeschickt und setze in Gleichung ( 1 ) ein; nicht ( 2 ) )

Kommentar von ArchEnema ,

Die Frage war nicht nach der Lösung (denn die kennt er ja). Sondern nach dem Lösungsweg. Deiner klappt in diesem speziellen Fall, und in anderen mit ebenso offensichtlichen Nullstellen. Im Allgemeinen jedoch nicht (und jetzt fang nicht von Nullstellen in |C an).

Deshalb ist deine Lösung zwar löblich (und kürzer als meine), aber nicht vollständig.

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