Frage von Masaya, 63

Wie komme ich auf die Umformung des mathematischen Terms (s. Bild)?

Moin,

Wie kommt man von dem Terms mit dem Summenzeichen auf den Bruch(s. Bild)? Komme einfach nicht drauf!

https://www.dropbox.com/s/esyarrwtttkvzqj/IMG_0406.JPG?dl=0

Gruß

Ella

Antwort
von Polynomo, 7

Ich komme erst heute Abend an Deine Frage, und weil der Sachverhalt eigentlich sehr reizvoll ist und auch relativ leicht zu verstehen, will ich Dir mal ne Antwort schicken.

Wenn Du Dir die 2er-Potenzen anschaust, also die  2^i  der Reihe nach , beginnend bei  2^0  , dann kommst Du zu folgender Zahlenfolge :

1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 . 64 , 128 , ...... , 

das Bildungsgestz ist da ja sehr einfach, weil Du immer nur verdoppeln musst.

In der vorgegebenen Formel ist nun die Summe zu bilden all dieser Zahlen, und zwar bei  1  beginnend und dann ....     z.B.  bis 64 ,  das sind  7  Zahlen und entspricht in der Formel  n = 7  , weil ja die  0  mitgezählt wird.

Jetzt denkst Du Dir mal die Zahlen als Kästchen auf dem karierten Papier, schön linksbündig angeordnet in  7  Reihen  untereinander. Um jetzt alle Kästchen zu zählen, bedienst Du Dich eines Tricks :

In der ersten Reihe, wo sich ja nur  1 Kästchen befindet, tust Du heimlich ein zweites dazu , jetzt sind es also plötzlich  2 Kästchen , genau wie in der Reihe darunter.

Jetzt nimmst Du diese beiden Kästchen aus der ersten Reihe und hängst sie an der zweiten Reihe dran  -->   ergibt  4  Kästchen, genau wie in der dritten Reihe, die hängst Du widerum dort an, ergibt 8 Kästchen, wie in der  vierten Reihe, die wiederum angehängt an der nächsten Reihe und so fort, bis zum Schluß - wo immer der auch ist -  2 gleichlange Reihen stehen bleiben, also die letzte Reihe genau verdoppelt ist.

Diesen Sachverhalt fasst die Mathematik in eine Formel wie im Bild zu sehen.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 14

Diese Webseite habe ich gefunden -->

http://nibis.ni.schule.de/~lbs-gym/jahrgang111pdf/UnendlichegeometrischeReihe.pd...

Schau mal unter dem Thema "Summenformel für geometrische Reihen"

Da ist als Endergebnis angegeben --

s _ n = a _ 1 * (1 - q ^ n) / (1 - q)

In deiner Reihe ist q = 2 und a _ 1 = 1

s _ n = (1 - 2 ^ n) / (1 - 2)

Das ist identisch mit -->

s _ n = (2 ^ n - 1) / (2 - 1)

Es gilt also -->

(1 - 2 ^ n) / (1 - 2) = (2 ^ n - 1) / (2 - 1)

2 - 1 = 1 kann man also noch vereinfachen.

Generell gilt -->

(a - b) / (c - d) = (b - a) / (d - c) solange der Nenner nicht Null ist.

Kommentar von Masaya ,

cool vielen Dank! hat mir sehr weitergeholfen :)

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) !, aber noch weiter kann ich dir damit leider nicht helfen, weil ich Mathematik nur als kleines Freizeithobby betreibe und weiter nichts.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Ich habe dein Bild gedreht und hier auf GF reingestellt -->

Kommentar von DepravedGirl ,

2 - 1 im Nenner ist schon mal überflüssig, weil 2 - 1 = 1 ist und deshalb wegfällt.

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 45

Hei :-)) !

Kannst du das Bild nochmal nachträglich reinstellen ??

Kommentar von Masaya ,

Hi!

Ok, da das anscheinend ewig dauert, bis meine Nachbearbeitung der Frage akzeptiert wird, hier nochmal (hoffe es klappt).

http://de.tinypic.com/r/of0w86/9

Also ich verstehe nicht, wie man von dem Term mit dem Summenzeichen auf den Bruch kommt...

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich werde es mir mal anschauen, kann aber keine Versprechungen machen.

Kommentar von DepravedGirl ,

2 - 1 im Nenner ist schon mal überflüssig, weil 2 - 1 = 1 ist und deshalb wegfällt.

Antwort
von BretterPit, 24

welches Bild?

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