Frage von DrChimpanzee, 21

Wie könnte ich diese Aufgabe zur linearen Algebra lösen?

Guten Abend, Community,

ich darf diese Aufgabe lösen und bräuchte vielleicht einen kleinen Denkanstoß, wie ich die Sache angehen könnte:

Seien U1, U2 ⊆ V Untervektorraume eines ¨ K-Vektorraums V . Zeigen Sie, dass U1∪U2 genau dann ein Untervektorraum ist, wenn U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1.

Ich wäre dankbar für jede Antwort. LG, DrC

Antwort
von JonIrenicus, 21

Also seien U1 und U2 Untervektorräume von K. "Genau dann, wenn" bedeutet beide Richtungen beweisen, also:

Angenommen, U1 ⊆ U2 oder U2 ⊆ U1. Dann ist trivialerweise (warum? Machs dir klar, nimm oBdA U1⊆ U2 an.) U1∪U2 ein Untervektorraum.

Sei umgekehrt U1∪U2 ein Untervektorraum von V. Betrachte x ∈ U1\U2 und y ∈ U2\U1 (d.h. du nimmst an, dass keiner der beiden Räume ein Teilraum des anderen ist). Dann ist x∈ U1∪U2 und y∈ U1∪U2. Daraus kannst du folgern, dass x+y ∈ U1∪U2 und einen Widerspruch y∈U1 oder x∈U2 (wie?) provozieren.

Kommentar von DrChimpanzee ,

Danke, ich stehe heute irgendwie total auf dem Schlauch...

Kommentar von JonIrenicus ,

Kein Problem, wenn du noch Hilfe brauchst, frag ruhig weiter.

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