Frage von ScienceFan, 28

Wie kann man sich die Formel Q=m*c*DeltaT herleiten?

Hallo, wir hatten diese Formel im Unterricht, aber meine Lehrerin hat sie nicht hergeleitet.

Wie kann man sich die Formel herleiten und wie kommt man bei der spezifischen Wärmekapazität auf die Einheit kJ/kg*K?

LG Alex

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 16

Wie kann man sich die Formel Q=m*c*DeltaT herleiten?

Vorab: Ich würde die Schreibweise »c_« für die spezifische Wärmekapazität vorziehen, um Verwechslungen mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c zu vermeiden.

Der Unterstrich steht für einen eventuellen Index, nämlich c.[V] (spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen) und c.[p] (spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck). 

Nun, das liegt zunächst einerseits an der Definition der Wärmekapazität und der spezifischen Wärmekapazität

(1) C_(T) = m·c_(T) = δQ/δT,

wobei das kleine »δ« anstelle des großen »Δ« andeutet, dass es sich um eine kleine Temperaturspanne und eine (entsprechend) kleine Wärmemenge handelt.

Andererseits muss diese Wärmekapazität im Temperaturbereich zwischen zwei Temperaturen T₁ und T₂ konstant sein, damit

(2) Q = m·∫_[T₁]^{T₂}{dT c_(T)} = m·c_·∫_[T₁]^{T₂}{dT} = m·c·(T₂ – T₁)

gilt. Üblicherweise ist das aber nicht ganz so.

Kommentar von SlowPhil ,

Was in (2) zwischen Q = … = m·c·(T₂ – T₁) steht, ist ein Integral. Man kann sich dies so vorstellen, dass der Temperaturbereich in kleine Streifen der Breite dT »zerschnitten« wird, in denen c_ in jedem Fall konstant ist, und die Summanden c_(T)dT werden anschließend aufsummiert.

Antwort
von zalto, 13

Größen wie die "spezifische Wärmekapazität" entstehen dann, wenn man lineare Zusammenhänge physikalisch beschreibt und etwas braucht, damit die Einheiten links und rechts des Gleichheitszeichens zueinander passen.

Kann man sich so vorstellen, dass man zunächst erkannt hat, dass die zugeführte Wärmenergie zum einen der Masse und zum anderen der Temperaturänderung proportional ist: Q ~ m * delta(T). Was für ein Gleichheitszeichen noch fehlt, ist eine Konstante mit den Einheiten "linke Seite geteilt durch rechte Seite".

Ein anderes Beispiel dafür ist die "Federkonstante D". Man findet Kraft F ist proportional der Auslenkung x (F ~ x) und definiert D mit der Einheit "linke Seite geteilt durch rechte Seite", so dass F = D * x.

Oder die Beziehung Spannung U ~ Strom I führt direkt zur Definition des Widerstands U = R * I.

Wenn man genauer wissen will, warum die Wärmekapazität so groß ist, wie sie ist, muss man sich mit mechanischen Zusammenhängen auf atomarer Ebene auseinandersetzen. Das wäre vielleicht am ehesten eine "Herleitung" in Deinem Sinne. Und ist ganz typisch für die Thermodynamik, dass man zwei Zugangswege hat: einen empirischen aus Experimenten und einen statistischen über die Mechanik.

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