Frage von lateinchiller, 10

Wie kann man prüfen, ob eine Symmetrie zur y-Achse vorliegt?

Meine Aufgabe ist zu verschiedenen Funktionen zu prüfen, ob Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse besteht. Für ersteres muss ich prüfen, ob die Gleichung aufgeht, wenn man für (X|Y) den Punkt (0|0) einsetzt. Aber was muss ich tun, um letzteres zu prüfen ?? Vielen Dank.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 7

Wenn eine (Achsen-)Symmetrie zur y-Achse besteht, gilt:

f(-x) = f(x)

Wenn eine (Punkt-)Symmetrie zum Koordinatenursprung (0|0) besteht, gilt:

f(-x) = -f(x)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von lateinchiller ,

Kann ich Symmetrie zum Ursprung nicht einfach prüfen, indem ich den Punkt (0|0) in die Gleichung einsetze ? Kannst Du für f(-x) = -f(x) mal ein Beispiel geben ? Das wäre sehr nett ;)

Kommentar von Willibergi ,

Wenn der Punkt (0|0) auf dem Graphen liegt, heißt das nicht, dass irgendwas symmetrisch ist.

Ein triviales Beispiel für f(-x) = -f(x) ist der Sinus:

sin(-x) = -sin(x)

Beispiel:

sin(-π/2) = -sin(π/2)

-1 = -1

Eine andere punktsymmetrische Funktion ist beispielsweise x³:

(-x)³ = -x³

Beispiel:

(-2)³ = -2³

-8 = -8

Grundsätzlich gilt:

Wenn in einem Polynom nur ungerade Exponenten vorhanden sind, so ist der Graph punktsymmetrisch zu (0|0), sind nur gerade Exponenten vorhanden, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (das Absolutglied hat hierbei den Faktor x⁰).

Weitere Beispiele für punktsymmetrische Graphen:

f(x) = x⁵ - 12x³ + 2x

f(x) = tan(x)

Weitere Beispiele für achsensymmetrische Graphen:

f(x) = x²

f(x) = 5

f(x) = cos(x)

LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

Danke für den Stern. :)

LG Willibergi

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 7

Man macht die Symmetrieprüfung am Anfang ganz automatisch.

1. Prüfung auf Achsensysmmetrie
    f(x) = f(-x)
    Da setzt man für jedes x in der Funktion (-x) ein und prüft,
    ob nach Ausrechnung die Funktion erhalten geblieben ist.

Den Zwischenstand, wenn keine Achsensysmmetrie vorliegt, nutzt man zum Weiterprüfen. Dazu verwendet man das eben gewonnene f(-x).

2. Prüfung auf Punktsymmetrie zum Ursprung 
    f(x) = -(f(-x))
    Dafür schreibt man vor die ganze Funktion von eben ein Minus,
    dreht alles um und prüft, ob jetzt die Originalfunktion herauskommt.

Es gibt immer drei Möglichkeiten:
Achsensymmetrie oder
Punktsymmetrie oder
keine Symmetrie

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Symmetrie zur y-Achse bedeutet, dass f(x) = f(-x) ist.

Beispiel 1:

f(x) = 12x
12x != 12(-x) 
12x = -12x | +12x
24x = 0     | :24
x = 0

Die Gleichung f(x) = f(-x) gilt hier nur für x=0. → nicht symmetrisch zur y-Achse.

Beispiel 2:

   f(x) = x² - 9
x² - 9 != (-x)² - 9 | + 9
x² = (-x)²
x² = x² | -x²
0 = 0

Die Gleichung ist erfüllt für alle x. → symmetrisch zur y-Achse.

Antwort
von poseidon42, 5

Wenn eine Symmetrie zur Y-Achse vorliegen soll muss gelten:

f(x) = f(-x)

Weil es ja im Falle der Y-Achsen Symmetrie egal ist in welche "Richtung" du gehst, wenn du die gleiche "Strecke" auf der X-Achse zurückgelegt hast muss ja in beiden Fällen die selbe Strecke auf der Y-Achse zurückgelegt worden sein.

Das heißt jedes Polynom der Gestalt:

p(x) = ax^(2n) + ... + h*x^4 + d*x^2 + K 

ist symmetrisch zur Y-Achse, denn es folgt durch einsetzen von -x :

p(-x) = a*(-x)^(2n) + ... + h*(-x)^4 + dx^2 + K

Und aufgrund von nur geraden Potenzen:

p(-x) = p(x)

Daraus folgt also, enthält ein Polynom n-ten Grades auschließlich gerade Exponenten (inklusive der Null mit x^0 = 1) folgt die Symmetrie zur Y-Achse.

Antwort
von Peter42, 3

wenn für " X " und " - X " der gleiche " Y "-Wert herauskommt (und zwar für alle " X "), dann ist das Ding achsensymmetrisch. Kann man sich schnell auch optisch klarmachen - stell' dir vor, du stellst einen Spiegel genau auf die y-Achse - wenn das Spiegelbild mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt, ist es eine Achsensymmetrie..

Antwort
von HamiltonJR, 4

Nur weil ein Punkt im Ursprung liegt, ist das noch lange kein Indiz für Punktsymmetrie!! Also deine erste Prüfung musst du noch mal überdenken..

Punktsymmetrie: f(-x) =-f(x)

Achsensymmetrie: f(x) = f(-x)

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