Frage von jaysiboo, 75

Wie kann man prüfen , ob Menge A:={xER: x^k E Z für ein k E N} abzählbar ist?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 59

Hallo,

da x aus R und R überabzählbar ist, ist auch x^k überabzählbar.

Du kannst nur Mengen abzählen, zwischen deren einzelnen Elementen Lücken sind. Bei der Menge der reellen Zahlen kannst Du zwischen zwei Elemente - wie dicht beieinander sie auch liegen mögen - immer noch unendlich viele Elemente einfügen.

Abzählbar sind Mengen, deren Elemente Du durchnumerieren kannst.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von valvaris ,

aber da x^k € Z sein soll, kann man auch nicht beliebige x nehmen, da es x gibt, für die kein Exponent aus Natürlichen Zahlen eine Ganze Zahl ergibt. das wären die Lücken.

Oder irre ich mich ?

Kommentar von Willy1729 ,

Stimmt, habe ich übersehen.

Antwort
von Melvissimo, 39

Ich gebe dir einen recht algebraischen Beweis für die Abzählbarkeit (sry, ich bin halt Algebraiker - der kam mir zuerst in den Sinn):

Beachte, dass jedes x in A die Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist (ist etwa x^k = a eine ganze Zahl, dann ist x die Nullstelle des Polynoms f(X) = X^k - a; die Koeffizienten von f liegen beide in den ganzen Zahlen).

Bemerke nun, dass es nur abzählbar viele Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten gibt und dass jedes solche Polynom nur endlich viele Nullstellen hat. Insbesondere gibt es nur abzählbar viele Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.

Da aber jedes x in A eine solche Nullstelle ist, kann A nur abzählbar viele Elemente besitzen.

Antwort
von DexterNemrod, 18

Hastig zusammengeschriebene Beweisskizze

Die Abbildung x -> x^k hat eine ganz amüsante Eigenschaft:

Wenn gilt x ^ k = y ^ k, dann gilt auch |x| = |y|. Das ist insofern wichtig, als dass es höchtens zwei x gibt, für die das gleiche x^k rauskommt (und auch nur, wenn k gerade ist). Achtung: Das gilt nicht für k=0, also gehe ich davon aus dass N bei dir für {1,2,3,...} steht und nicht die 0 enthält.

Das heißt für jede Zahl in Z kann es theoretisch bis zu zwei x geben, die in die Menge A übernommen werden. Also ist die maximal mögliche Größe für A die doppelte der von Z:

|A| <= 2 * |Z|

Da Z abzählbar ist, ist auch eine doppelt so große Menge abzählbar. Und da A weniger oder gleich mächtig einer abzählbaren Menge ist, ist auch A abzählbar.

Im oben erwähnten Fall k=0 wäre übrigens die Menge A = R und damit überabzählbar.

Antwort
von valvaris, 58

Abzählbar ist sie, wenn sie die gleiche Mächtigkeit wie die Menge N hat.

https://de.wikipedia.org/wiki/Abz%C3%A4hlbare\_Menge

Klingt, als ob durch x^k alle Natürlichen Zahlen abbildbar sein müssten. Wenn du für k = 1 einsetzt, dann kannst du das durchaus. Also wäre sie für k=1 abzählbar unendlich.

Für k>1 ist die Menge dann kleiner. Da die Menge aber immernoch unendlich groß ist, da eine Einschränkung fehlt, ist das überabzählbar.

Kommentar von jaysiboo ,

Also ich dachte x^k ist Element von den ganzen Zahlen und die ganzen Zahlen sind ja auch abzählbar.. oder ?

Kommentar von valvaris ,

Es ist ne Regel / Einschränkung der Menge.

"x^k € Z" heißt, dass für ein Element x und irgend ne natürliche Zahl k gelten muss, dass sie so kombiniert eine ganze Zahl ergeben.

Oder andersrum, dass x nur dann in der Menge ist, wenn es mit einem Exponent k ( € N) eine ganze Zahl bildet).

Kommentar von jaysiboo ,

Ja und bedeutet das dann nicht dass x^k dann abzählbar ist?? Oder ist es trotzdem Überabzählbar weil x aus R ist ?

Kommentar von valvaris ,

also x ist zumindest unendlich groß, denn es gibt keine Obergrenze. Laut der Definition im Link gibts aber nur abzählbar unendlich, wenn die Menge dann der Menge N entspricht.

Ich bin leider etwas lange aus dem Stoff raus, um die exakten Details zu kennen, aber die Menge A mit den Regeln ist größer als die Menge N, denn es gibt auch rationale Zahlen, die mit einem Exponent eine ganze Zahl bilden.

Du musst nur eine ganze Zahl finden, die beim Ziehen einer beliebigen Wurzel eine radionale Zahl ergibt. "Wurzel 2" beispielsweise.

Damit wäre die Menge A überabzählbar, weil unendlich, aber nicht abzählbar unendlich, weil größer als die Menge N.

Zumindest klingt es für mich so. Ein Matheprofessor müsste das nochmal durchdenken.

Kommentar von jaysiboo ,

Jaa Dankeschön jetzt habe ich es verstanden 😬

Kommentar von valvaris ,

aber Frag lieber nochmal deinen Prof. und wenn der was anderes sagt, dann lass es mich wissen - interessiert mich jetzt selbst, ob ich da richtig liege. ^^ 

Antwort
von ralphdieter, 22

Schreibe das einfach so: A ⊂ { ± z^(1/k) : z∈ℤ, k∈ℕ }.

Hier siehst Du sofort, dass A nicht mächtiger als ℤ×ℕ sein kann. Also ist A abzählbar.

Kommentar von valvaris ,

Ich musste kurz überlegen, aber dann kam ich hinter deine Unformung.

Allerdings verstehe ich nicht, wieso A abzählbar ist.
Es ist doch unendlich groß, aber durch das rationale Element mächtiger als ℕ

Kommentar von ralphdieter ,

Mit ℤ×ℕ kannst Du zum Beispiel ℚ modellieren (via q=z/n). Und ℚ ist ja auch abzählbar (obwohl ℚ eine echte Obermenge von ℕ ist). Das kartesische Produkt zweier abzählbarer Mengen ist immer abzählbar.

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