Frage von cambaja, 36

Wie kann man Nullstellen bei einer Funktion vierten Grades EINFACH ausrechnen?

Geht es per Taschenrechner oder habt ihr eine einfache Lösung parat oder muss man ernsthaft jedes Mal die Polynomdivision anwenden?

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 5

Merke: Lehrer stellen immer nur leichte Spezialfall-Aufgaben, wo:

- entweder leicht zu erratende ganzzahlige Nullstellen (-2...4) 

- oder Substitution (nur geradzahlige Potenzen) -> pq-Formel

angewendet werden müssen!

Dann gibt es den Übergang (Ende Abi ... Anfang Studium), wo man Näherungs-Algorithmen  lernt (Bisektion, Newton-Iteration,...)

In der Wissenschaft ist man jedoch schon weiter:

für kubische Gl. gibt es analog zur pq-Formel die PQRST-Formel

für Gl. 4. Grades gibt es die PQRSTUVW-Formel

Da man im komplexen rechnet, dürfen die einzelnen Faktoren auch komplex sein! 

siehe http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

(Beispiel 22; wenn man Hilfsvariablen P, Q,... günstig optimiert, sieht die Formel auch nicht mehr so lang aus und oft kürzt sich was heraus; kein Schulstoff! oft kennen nicht mal Lehrer diese expliziten Formeln!)

Noch was zu Taschenrechner: 90% sind nur billige Näherungsrechner mit wenigen Nachkommastellen. Der Algorithmus sucht erst grob per Bisektion und verfeinert anschließend mit Newton. Diese 4 Nachkommastellen haben nur wenig mit der exakten Lösung (oft irrationale Zahlen also unendlich viele Nachkommastellen) gemeinsam -> reichen aber für Schüler aus.

Dann gibt es noch ein Algorithmus, der bei Wikipedia und unter

http://www.lamprechts.de/gerd/Quartische_Gleichung.html

§C beschrieben ist:  "... per kubische Hilfsgleichung in 2 quadratische Faktoren zerlegen" Dieser Weg ist jedoch kompliziert und beinhaltet
Fallunterscheidungen.

Antwort
von Franz1957, 6

Die einfachste Methode, die ich kenne:

Maxima 5.31.2 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.

(%i1) display2d: false;
(%o1) false
(%i2) f(x):= 2*x^4-7*x^3+3*x^2-5*x+12;
(%o2) f(x):=2*x^4-7*x^3+3*x^2+(-5)*x+12
(%i3) solve(f(x)=0, x);
(%o3) [x = -sqrt(-335*sqrt(3)*(sqrt(3556787)/(16*3^(3/2))+413/16)^(1/6)...

... (vier ziemlich lange Ausdrücke mit Brüchen, Klammern und Wurzeln) ...

...]
(%i4) float(solve(f(x)=0, x));
(%o4) [x = -1.106050022238373*%i-0.46400453223987,
x = 1.106050022238373*%i-0.46400453223987,x = 1.358884437179703,
x = 3.069124627300028]

Antwort
von lariblabla2, 16

ausklammern kannst du machen zB :)

Kommentar von cambaja ,

beim vierten Grad? Wie das?

Kommentar von lariblabla2 ,

naja einfach x^2 ausklammern zB
ich kenn ja die funktion nicht die du da meinst

Antwort
von YStoll, 7

Es gibt spezielle Fälle, für die sich Abkürzungen finden lassen, z.B. wenn
x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 gilt und a = c = 0 oder eine andere für den Fall, dass a = c und d = 1.

Ansonsten kann man noch Nullstellen raten/ approximieren und die von dir erwähnte Polynomdivision durchführen.

Das ist aber nicht häufig der Fall.
Eine allgemeine Lösung erhält man mit ein bisschen Rechnerei und den Cardianschen Formeln. Das kannst du googlen, ist aber ziemlich umfangreich.

Ansonsten gibst du das ganze einfach in einen (Taschen)recher.

Du kannst auch das allgemeine Polynom in WolframAlpha eingeben und dir die Lösung nach x anschauen. Jede der vier Lösungen umfasst auch nur ca. 19 Zeilen...

Kostprobe gefällig?

x = -1/2 sqrt((sqrt((27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^2-4 (-3 a c+b^2+12 d)^3)+27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^(1/3)/(3 2^(1/3))+(2^(1/3) (-3 a c+b^2+12 d))/(3 (sqrt((27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^2-4 (-3 a c+b^2+12 d)^3)+27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^(1/3))+a^2/4-(2 b)/3)-1/2 sqrt(-(sqrt((27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^2-4 (-3 a c+b^2+12 d)^3)+27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^(1/3)/(3 2^(1/3))-(2^(1/3) (-3 a c+b^2+12 d))/(3 (sqrt((27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^2-4 (-3 a c+b^2+12 d)^3)+27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^(1/3))+a^2/2-(-a^3+4 a b-8 c)/(4 sqrt((sqrt((27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^2-4 (-3 a c+b^2+12 d)^3)+27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^(1/3)/(3 2^(1/3))+(2^(1/3) (-3 a c+b^2+12 d))/(3 (sqrt((27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^2-4 (-3 a c+b^2+12 d)^3)+27 a^2 d-9 a b c+2 b^3-72 b d+27 c^2)^(1/3))+a^2/4-(2 b)/3))-(4 b)/3)-a/4

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 4

ersetzt die Polynomdivision.

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