Frage von halbleeresgals, 68

Wie kann man injektivität/surjektivität prüfen wenn man f: Q → R und die sinus funktion sin(x) gegeben hat ( ich kann das nur mit R → R )?

also nach meinem wissen nach muss immer ein unterschiedlicher wert raus kommen wenn man für x unterschiedliche zahlen eingibt = injektiv

und wenn man für y einen Wert einsetzt kann man nach x problemlos umstellen

aber wie ist das wenn man Q zu R hat ?

Antwort
von FataMorgana2010, 68

Man macht das ganz genau so. Wann sind denn zwei Funktionswerte gleich? Es ist doch 

sin x = sin y <=> sin x - sin y = 0. 

Nun kennt man ein paar Zusammenhänge für diese Differenz, nämlich

sin x - sin y = 2 cos( (x+y)/2 )  * sin( (x-y)/2) ) 

Daraus lässt sich dann wieder was ableiten, mit dem Satz vom Nullprodukt nämlich: 

Entweder muss 

cos( (x+y)/2 ) = 0 gelten oder 

sin( (x-y)/2) ) = 0.

Wann ist das aber der Fall? 

Kommentar von ralphdieter ,

WOW, Dieser Ansatz ist so erfrischend einfach!

@halbleeresgals: Die vielen Lösungen in ℝ sind Dir ja sicher klar (irgendwas wie y=±x+2kπ). Also war's da nix mit injektiv.

Aber wieviele dieser Lösungen liegen in ℚ? Eine springt ja förmlich ins Auge (x=y=0), aber gibt's noch andere? Beachte, dass π irrational ist, und damit auch alle ganzen Vielfachen von π.

Antwort
von Roach5, 56

Erste Bemerkung: Q ist abzählbar und R ist überabzählbar, daraus folgt sofort, dass es keine Surjektion f: Q → R gibt. Also ist sin: Q → R nicht surjektiv.

Prüfen wir auf Injektivität.

Angenommen, es gibt x, y ∈ Q, x ≠ y, sodass sin(x) = sin(y).

Wir betrachten die Sinusfunktion und sehen, dass dies genau der Fall ist, wenn:

1. Periodizität: x = y + 2 π k für ein ganzzahliges k. Für k ≠ 0 ist aber (Q + 2 π k) ∩ Q = ∅, also ist das schon einmal nicht möglich.

2. Achsensymmetrie in den Extremstellen: Daraus folgt unmittelbar, dass x und y genau dann dieselben Funktionswerte haben, wenn ein Extrempunkt e existiert, sodass |x - e| = |y - e|. Daraus folgt, dass e = (x + y)/2 (rational!). Alle Extrempunkte sind aber von der Form e = π(1/2 + j) für ein gewisses ganzzahliges j. Diese sind aber alle irrational (selbes Argument wie oben), was einen Widerspruch erzeugt, da e rational angenommen wurde. Also ist die Funktion eingeschränkt auf Q weder injektiv noch surjektiv.

LG

Kommentar von Roach5 ,

Kleine Bemerkung am Rande. Dass aus Achsensymmetrie in den Extremstellen folgt, "dass x und y genau dann dieselben Funktionswerte haben, wenn ein Extrempunkt e existiert, sodass |x - e| = |y - e|", stimmt im Allgemeinen nicht. Du musst noch die Forderung dazutun (die bei sin(x) und cos(x) natürlich funktioniert), dass die Funktion zwischen zwei Extremstellen streng monoton ist, beachte, dass sin(x) und cos(x) periodisch sind und es somit unendlich Extremstellen gibt!

Kommentar von ralphdieter ,

Du nimmst an "nicht injektiv", führst das zum Widerspruch, und folgerst daraus "nicht injektiv".

Das verstehe ich nicht.

Kommentar von Roach5 ,

Ich folgere Injektivität, habe aber leider ausversehen geschrieben, dass ich "nicht-Injektivität" gefolgert habe. Die Funktion ist natürlich injektiv, danke für die Bemerkung!

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