Frage von TheFriendlyGuy, 26

Wie kann man in Mathe Grenzwerte ermitteln?

Hi, ich brauche Hilfe bei den Grenzwerten in Mathe. Ich weiß das es so funktioniert: Man hat einen Term, stellt ihn durch irgendwelche logische Dinge um und setzt die Zahl unter dem lim ein. Allerdings habe ich 2 Aufgaben Probleme. Kann mir jemand helfen?

Aufgabe 1: 4x-5x^3/2x^3+5x-3. lim -> unendlich

Aufgabe 2: 7x^2+8x/4x^3-2x^2+x. lim-> 0

Wie berechne ich da die Grenzwerte? Ich sehe da keine binomische Formel und co.

Antwort
von poseidon42, 10

Also angenommen du hast eine Funktion der Form:

f(x) = p(z,x)/p(n,x) gegeben mit den Polynomen vom Grad z bzw n

(z für Zählergrad und n für Nennergrad)

Und du willst den Grenzwert für x gegen +/- unendlich bestimmen, so beachte einfach folgende Fälle:



1. Fall)  Sei nun  z >= n  (Zählergrad >= Nennergrad)

So kann man an dieser Stelle die Polynomdivision anwenden (siehe Link):

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/polynomdivision.html

Dabei können zwei Fälle eintreten:



1.1) Die Division geht auf und liefert ein einfaches Polynom vom Grad z-n , so verhält sich dann f wie dieses Polynom.

Beispiel :  f(x) = (x^2 -1)/(x+1) = (x-1)(x+1)/(x+1) = x - 1

f verhält sich also wie x - 1.



1.2) Es bleibt ein Rest R(x) für den gilt Zählergrad größer Nennergrad, siehe hierzu Fall 2 !.




2. Fall) Sei nun z <  n   (Zählergrad < Nennergrad)

Hier liefert Herauskürzen der höchsten Potenz die gewünschte Antwort.

Beispiel:

f(x) = (x - 1)/(x^2 + 1)     II Dividieren durch x^2 in Zähler und Nenner

f(x) = (1/x - 1/x^2)/( 1 + 1/x^2)   mit 1/x und 1/x^2  als Nullfolgen folgt dann:

f(x) ---> 0/1 = 0



Also in Kurzform: (für x ----> +/- unendlich)

1.) z > m ----> f(x) ----> +/- Unendlich

2.) z = m ----> f(x) = (m*x^n + ...)/(k*x^n + ...) ----> m/k

3.) z < m ----> f(x) ----> 0



Der Limes gegen eine feste Zahl wie 0 ist da in der Regel schon etwas schwieriger, ich rechne es dir einfach mal vor (hier relativ einfach, da hebbare Definitionslücke):

(7x^2+8x)/(4x^3-2x^2+x) verhält sich wie (7x + 8)/(4x^2 -2x + 1) = g(x)

[einfach das x herausgekürzt]


Betrachte nun hier lim(x->0){ g(x) } = g(0) = 8

Damit lautet der Grenzwert für x->0 ; f(x) -> 8 .




Aber hier zur Vertiefung bzw für noch mehr Informationen google einfach mal:

"Ganzrationale Funktionen Grenzwerte"

"Polynomdivision"

"Ganzrationale Funktionen Asymptoten"

Und hier noch der Verweis auf ein Video zu dem Thema.

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