Frage von StudentHN, 33

Wie kann man ein totalen Differenzial berechnen?

Hallo liebes Forum,

ich habe folgende Aufgabe gegeben: f(a,k)=K^0,7 * 10*a^0,2

Nun musste ich in der Aufgabe eine Produktionsveränderung berechnen, a sind stunden und k sind mitarbeiter.

habe eine dieffrenz von 22,61

nun muss ich das totale Differenzial berechnen. wie funktioniert das, ich komme nicht mehr weiter.

Danke

Marc

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 19

Totales Differential:

df = ∂f/∂a * da + ∂f/∂k * dk 

Was bedeutet die "Differenz"?

Kommentar von StudentHN ,

differenz heißt ableitung bilden. komme aber hier nicht weiter, weil variable a und k multipliziert werden

Kommentar von PWolff ,

Beim partiellen Differnezieren leitet man nach der betreffenden Variablen ab, wobei man alle anderen Variablen konstant hält.

Hier:

∂f/∂a = k^0,7 * 10 * 0,2 * a^(0,2-1) = 2 * k^0,7 * a^(-0,8)

∂f/∂k = 0,7 * k^(0,7-1) * 10 * a^0,2 = 7 * k^(-0,3) * a^0,2

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Aber mit "Differenz" komme ich immer noch nicht klar - normalerweise ist das so was wie a - b.

Wie lautet denn die Aufgabenstellung?

Kommentar von StudentHN ,

Gegeben ist die Funktion (habe ich oben hingeschrieben). A - Anzahl Mitarbeiter K - Anzahl Maschinen. 1. Berechne Exakt für A012 und K=9. Habe ich erledigt, kommt 76,53 raus. Berechne die Produktionsveränderung delta y, wenn die Zahl A und K um 1/3 jeweils zunimmt. habe ich 99,14 raus.

Weiter: berechne die produktionsveränderung unter den bedingungen aus der obigen Aufgabe mit dem totalen differenzial...

Kommentar von PWolff ,

Hier soll das Differenzial offensichtlich als Näherung für die Differenz dienen.

Im eindimensionalen hätte man

Δf ≈ ∂f/∂x * Δx

Entsprechend hat man hier

Δf = ∂f/∂k * Δk + ∂f/∂a * Δa

∂f/∂k und ∂f/∂a habe ich oben schon vorgerechnet; Δk = 1/3 k und Δa = 1/3 a. Damit lässt sich der Näherungswert von Δf ausrechnen, und damit f + Δf.

Kommentar von StudentHN ,

jetzt habe ich verstanden. du hast 1/3 gebracht, darauf bin ich irgendwie nicht eingegangen. alles korrekt. super, du bist echt sehr gut.

Kommentar von PWolff ,

Danke für die Blumen!

Kommentar von StudentHN ,

da sieht man, was für nette leute es hier gibt. 

Kommentar von StudentHN ,

Komme trotzdem nicht auf ergebnis, egal was ich rechne. du hast nen fehler drinn

Kommentar von PWolff ,

Ich habe heraus:

∂f/∂a = 1,27542450062579
∂f/∂k = 5,95198100292036

Δa = 1/3 a = 4
Δk = 1/3 k = 3

∂f/∂a * Δa = 1,27542450062579
∂f/∂k * Δk = 5,95198100292036

f(a,k) + ∂f/∂a * Δa + ∂f/∂k * Δk = 99,4831110488117

es hat mich überrascht, wie nah dieser Wert am genauen Wert f(a+Δa,k+Δk) = 99,1404461013781 liegt.

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