Frage von BestOnce, 45

Wie kann man diese Formel herleiten (Physik, Quantenphysik)?

Es geht um ein Zyklotron.

Der Krümmungsradius des letzten Halbkreises der Teilchenbahn wird mit r_end (r index end) bezeichnet. Folgende Formel gibt die kinetische Energie des Teilchens auf diesem Halbkreis an:

E_kinEnd = (q^2B^2r_end^2)/(2*m)

Hat jemand eine Idee, wie man das herleiten kann??

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 17

Das ist noch rein klassische Physik.

Diese Formel ergibt sich, wenn man berücksichtigt, dass die Zentripetalkraft im Zyklotron die Lorentzkraft ist, die Größe der Lorentzkraft

F_L = q * v * B

ist, diese Kraft in die Gleichung für die gleichförmige Kreisbewegung einsetzt und für diese Kreisbewegung die kinetische Energie

E_kin = 1/2 m v²

ausrechnet.

Kommentar von BestOnce ,

Das habe ich nicht ganz verstanden. Kannst du mir die Formeln nennen auf die du dich berufst? Also Kreisbewegung usw.

Kannst du mir das mal step by step zeigen, bin nicht der Beste in Physik :')

Danke im Voraus :)

Kommentar von PWolff ,

Da muss ich wohl doch die vektorielle Form von Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer gleichförmigen Kreisbewegung heranziehen - wie man es skalar macht, fällt mir nicht ein.

Glücklicherweise ist es ein nur 2-dimensionales System.

Nehmen wir den Drehpunkt als Ursprung.

Dann haben wir einen Radiusvektor r mit r = (x|y).

(Meistens schreibt man einen Pfeil über die Vektoren; ich nehme fett,
weil man das auch oft für Vektoren nimmt und es hier zur Verfügung
steht.)

Nennen wir den Winkel zwischen r und der x-Achse φ.

Dann ist x = r cos(φ) und y = r sin(φ), wobei r die Länge von r ist.

damit ist r = r ( cos(φ) | sin(φ) )

Die Geschwindigkeit v ist definiert als r'.

(Ich nehme für die Zeitableitung den Strich rechts oben; seit Newton nimmt man hierfür meistens einen über das Symbol gesetzten Punkt.)

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Radius r konstant.

Damit ergibt sich für v

v = r ( -sin(φ) | cos(φ) ) * φ'

φ' ist die "Winkelgeschwindigkeit", die zeitliche Änderung des Winkels (im Bogenmaß). Hierfür schreibt man meistens ω (klein Omega).

Für den Betrag der Geschwindigkeit, v, ergibt sich damit

v = r ω

Die Beschleunigung a ist definiert als v'.

Damit ist

a = r ( -cos(φ) | -sin(φ) ) * φ' * φ' + r ( -sin(φ) | cos(φ) ) * φ''

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung bleibt aber φ' (= ω) konstant, d. h. φ'' = 0 (bzw. ω' = 0).

Damit ist

a = r ( -cos(φ) | -sin(φ) ) * φ'²  = r ( -cos(φ) | -sin(φ) ) *ω²

Betragsmäßig

a = r ω²

Andererseits ist nach Newton auch

F = m * a, also

F = m r ω²

wobei F die Lorentz-Kraft ist (die einzige Kraft, die merklich auf das Teilchen wirkt).

Die Lorentz-Kraft ist vom Betrag her gegeben als

F_L = q * v * B

Damit wird

q * v * B = m r ω²

Das ω stört noch etwas, mit dem können wir nachher nichts anfangen. Das kriegen wir weg über v = r ω, woraus folgt ω = v / r

also

q v B = m r v²/r²

q B = m v / r

Die kinetische Energie ist ja

E_kin = 1/2 m v²

(das ist ja im wesentlichen die einzige Energie, die das Teilchen hat)

Lösen wir die Gleichung oben nach v auf (* r/m):

v = q B r / m

dann bekommen wir für E_kin:

E_kin = 1/2 m (q r B / m)² = 1/2 m q² r² B² / m² = q² r² B² / (2 m)

was wir haben wollten.

Kommentar von BestOnce ,

Vielen vielen Dank :)

Aber mit Vektoren haben wir noch nicht gearbeitet, deshalb kann ich das nicht ganz nachvollziehen, was aber nicht an dir sondern an mir liegt.

Bekommst die hilfreichste Antwort :)

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