Wie kann man diese Aussage beweisen: det(k*A)=k^2*det(A)?

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2 Antworten

Zu einem beliebeigen Körper oder |R?

Zu a) det(A * B) = det(A) * det(B) sollte bekannt sein. Daraus lässt sich det(A^n)=(detA)^n schnell schlussfolgern.

Zu b) umstellen: det(A⁻¹) * det(A) = det (A⁻¹ * A) = ...

Zu c) Falls nicht gegeben: die Formel ad-bc zur Berechnung der det einer 2x2 Matrix herleiten und damit zeigen.

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a) Induktion über n mit Induktionsanfang det(AB) = det(A) det(B).

b) det(A) det(A^-1) = det(A A^-1) = det(1-Matrix) = 1.

c) Der "Skalar" k ist in Wirklichkeit die Matrix, die k in der Diagonalen hat, also im Fall 2x2: (k,0;0,k). Deren Determinante ist k², daraus folgt det(k A) = det(k) det(A) = k² det(A). Generell gilt für nxn-Matrizen immer: det(k A) = k^n det(A).

LG

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