Wie kann man die Temperatur bestimmen, wenn der Draht an eine ideale Batterie angeschlossen ist?

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3 Antworten

Ich versuch's mal:

Der Temperaturunterschied zur Umgebung hängt von der Wärmeleistung, der Oberfläche des Leiters und dem Wärmeübergangskoeffizient ab (s. Link) und ergibt sich zu 

ΔT = P/α*A     (1)

mit

P : Wärmeleistung

α : Wärmeübergangskoeffizient 

A : Oberfläche des Leiters

Die Wärmeleistung P beträgt 

P = U²/R.    (2)

Setzen wir (2) in (1) ein, erhalten wir

ΔT = U²/(R*α*A).

Für die Temperaturdifferenz, die sich beim langen Draht einstellt, gilt also

4 K = U²/(R*α*A)

und für den kurzen Draht 

ΔT = U²/(2/3*R*α*2/3*A).

Setzt man diese beiden Gleichungen ins Verhältnis

ΔT = U²/(2/3*R*α*2/3*A)
------------------------------
4 K = U²/(R*α*A)

kann man die unbekannten rauskürzen.

=> ΔT = 9/4 * 4 K = 9 K 

https://de.wikipedia.org/wiki/Stromw%C3%A4rmegesetz

Ohne Gewähr!

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Der Lösungsweg führt über die Energiebilanz: Bei der Gleichgewichtstemperatur, die der Draht schließlich erreicht, ist die
thermische Leistung, die er an die Umgebung abgibt, gleich groß wie die
elektrische Leistung, die er zugeführt bekommt.  

Die zugeführte Leistung und die entsprechende Leistung pro Längeneinheit findet man mit dem Ohmschen Gesetz. Was hier interessiert, ist auch nur das Verhältnis zwischen dem langen und dem kurzen Draht.

Nun wird noch diese Information benötigt: Wie hängt die thermische
Verlustleistung des Drahtes (d.h. die Rate, mit der er Energie an die
Umgebung abgibt), von seiner Temperatur ab?

Das ist in Wirklichkeit recht kompliziert, denn der Draht gibt thermische
Energie auf mehreren Wegen gleichzeitig ab: Durch Strahlung, durch
Wärmeleitung und durch Konvektion. Bei Übungsaufgaben wird die Situation
meistens stark vereinfacht, damit man sie berechnen kann, ohne daß
gleich eine zig Seiten lange Abhandlung daraus wird.

Eine Möglichkeit ist die, daß man nur mit der Strahlung rechnet. Wenn es um Temperaturen wie die eines Glühlampendrahtes handelt, ist das realistisch, bei nur etwa Zimmertemperatur sicher nicht. Wenn man aber so rechnen will, dann verwendet man für den Zusammenhang zwischen thermischer Strahlungsleistung und Temperatur das Stefan-Boltzmann-Gesetz.

Die Wärmeleitung über die Befestigung wird bei einem, wie es hier heißt, langen Draht, keine bedeutende Rolle spielen.

Die Konvektion ist eigentlich kompliziert, aber es gibt Näherungsformeln, auch für Deinen Fall. Schau unter: "Wärmeübergangskoeffizient", Abschnitt "Freie Konvektion". Schau dort unter "Luft" und nimm an, daß die Stömungsgeschwindigkeit v ungefähr Null ist.

https://de.wikipedia.org/wiki/W%C3%A4rme%C3%BCbergangskoeffizient

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Kommentar von Franz1957
23.07.2016, 13:50

Die empirische Näherungsformel für den Wärmeübergangskoeffizienten bei freier Konvektion präzisiert SlowPhils Aussage über den annähernd linearen Zusammenhang zwischen Strom und Temperaturänderung. Solange die durch den Draht erwärmte Luft mit nur wenigen mm/Sekunde aufsteigt, ist der Zusammenhang zwischen Temperaturgefälle und Wärmeabfuhr ungefähr linear.

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Es gibt im Wesentlichen eine Größe, die sich deutlich ändert: Der elektrische Widerstand.

Anschaulich kannst Du Dir vorstellen, ein und dieselbe Höhendifferenz (entspricht Spannung) entfalle nun auf eine kürzere Strecke, wodurch natürlich das Gefälle (entspricht elektrischer Feldstärke) entsprechend steigt. Wenn das bei einem Wasserlauf passiert, wird die Strömung dadurch stärker, und im Draht wächst der Strom, denn die Batterie liefert eine konstante Spannung.

Anhand einer Wassermühle an einem Wasserlauf oder einem Wasserfall kann man sich klar machen, dass Spannung (entspr. Höhendifferenz) mal Strom (entspr. Wassermenge pro Zeiteinheit) gleich Leistung ist, d.h. der Draht nimmt entsprechend mehr Leistung auf und wird folglich wärmer.

Meines Erachtens sollte die verminderte Wärmekapazität nicht ins Gewicht fallen, weil die Leistungsaufnahme des Drahtes längenspezifisch erfolgen sollte (auf eine bestimmte Länge entfiele eine bestimmte Leistungsverbratzung). Dadurch sollte die Erwärmung reziprok zur Länge sein, ebenso wie der Strom.

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Kommentar von johannis1235678
23.07.2016, 12:34

Ist es nun nicht einfach möglich zu sagen, dass der ganze Draht sich bei einer Spannung U um 4K erwärmt hat, 2/3 des Drahtes hingegen nach 4K/2/3 = 6K erwärmt hätten und damit 6K dazugekommen wären, wodurch der Draht nun die Temperatur von 26°C besitzt?

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