Frage von StudentHN, 42

Wie kann man die Summe einer solchen Aufgabe berechnen?

AlleHallo liebes Forum,

ich habe die Aufgabe unten angehängt und möchte gerne die Summe der Aufgabe berechnen.

Untergrenze ist 3 und obergrenze ist 25.

Ich möchte ungerne von 3 aus 2/3^3 und plus 2/3^4 schreiben und das 25 mal.

gibt es da eine einfachere schreibweise. Wie berechne ich die komplette summe und ziehe das dann 0 1 2 ab, weil es ab 3 anfängt. danke.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 7

Hallo,

hättest Du meine Antwort von vorhin verstanden, wüßtest Du, daß es einen schnelleren Weg gibt.

Also nochmal:

sn=(2/3)^3+(2/3)^4+...+(2/3)^n

(2/3)*sn=(2/3)^4+...+(2/3)^n+(2/3)^(n+1)

sn-(2/3)*sn=(1/3)*sn=(2/3)^3-(2/3)^(n+1)

sn=3*[(2/3)^3-(2/3)^(n+1)]

Alle Zwischenglieder heben sich beim Subtrahieren auf, weil sie in beiden Reihen identisch sind.

Möchtest Du jetzt die Summe für n=3 bis n=25 für (2/3)^n berechnen,

setzt Du einfach in die obige Gleichung für n die 25 ein und erhältst:

3*[(2/3)^3-(2/3)^26]=0,8888096846, was exakt der Summe der Einzelglieder entspricht.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Auch für diesen Stern herzlichen Dank.

Willy

Antwort
von Copyyy, 20

Also mir fällt auf die schnelle keine einfachere Schreibweise ein.
Dein besagtes Ergebnis scheint aber nicht richtig zu sein:
https://rechneronline.de/summe/
Gib da pow((2/3)#i) ein und du siehst unten jeweils die Zwischensumme.

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 4

Herleitung des Ergebnisses:

Ich schreibe mal q=2/3.
Dann ist die gesuchte Summe:
(I) s=q³+q^4+q^5+...+q^25

Multiplizierst Du das Ganze mit q, erhälst Du:
(II) qs=q^4+q^5+q^6+...+q^26

Ziehst Du die Gleichungen voneinander ab (I)-(II):
s-qs=q³-q^26          |s ausklammern (alle anderen Summanden heben sich auf)
s(1-q)=q³-q^26        |: (1-q)
s=(q³-q^26)/(1-q)

Werte einsetzen:
s=(2/3)³-(2/3)^26)/(1-2/3)=(2/3)³-(2/3)^26/(1/3)=3*((2/3)³-(2-3)^26)
  =0,88880968...

ist nicht komplett auf "meinem Mist gewachsen":
sh. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische\_Reihe#Herleitung\_der\_Formel\_f.C3.... unter Punkt 4.1 "Herleitung Partialsummen"

Kommentar von fjf100 ,

Is immer so ! "Kopieren geht über studieren" !!

Alle meine Beiträge sind abgeschrieben !

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Ich wüsste da jetzt spontan auch keine schnelle Lösung.

Die richtige Endsumme ist 753078321752/847288609443, also ein ziemlich ekliger Dezimalbruch. ^^

LG Willibergi

Antwort
von Tannibi, 21

Ich möchte ungerne von 3 aus 2/3^3 und plus 2/3^4 schreiben und das 25 mal.

Das wäre auch falsch.

Kommentar von StudentHN ,

 (2/3)^3 natürlich mit klammern. kanst du helfen?

Kommentar von Tannibi ,

(2/3)^3 natürlich mit klammern.

Es sind nicht 25, sondern nur 23 Summanden.

Kommentar von StudentHN ,

genau. aber wie rechne ich das genau?

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