Frage von DepravedGirl, 142

Wie kann man die Sehnenlänge eines Kreises in Abhängigkeit von der Höhe berechnen?

Ein Kreis soll in ein kartesisches Koordinatensystem gelegt werden, und zwar so, dass der Mittelpunkt des Kreises genau im Ursprung (0 | 0) des Koordinatensystems liegt.

Das untere Ende des Kreises, also der Punkt (0 | - r) soll die Höhe h = -r sein

Der Punkt (0 | 0) soll die Höhe h = 0 sein.

Der Punkt (0 | + r) soll die Höhe h = + r sein.

Die Höhe des Kreises läuft also von - r bis + r

Ich möchte nun eine Formel finden, welche die Sehnenlänge d in Abhängigkeit von der Höhe h in diesem Kreis berechnen kann, unter dem Sachverhalt wie oben beschrieben.

d = Sehnenlänge

Folgendes ist ja bekannt -->

h = - r --> d = 0

h = 0 --> d = 2 * r

h = + r --> d = 0

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PhotonX, 96

Mir ist nicht ganz klar, wie die Sehne im Kreis eingebettet ist. Wo sind die beiden Endpunkte der Sehne?

Kommentar von Ellejolka ,

ich denke mal auf der Kreislinie

Kommentar von DepravedGirl ,

Erst mal vielen Dank für deine Antwort !

Die Sehne soll absolut / perfekt horizontal eingebettet sein !, also in der Höhe h horizontal durch den Kreis laufen.

Kommentar von PhotonX ,

Ah, verstehe! Mach dir am besten eine Skizze mit:

1. Dem Kreis.

2. Der Sehne.

3. Verbinde die Endpunkt der Sehne jeweils mit dem Mittelpunkt des Kreises. Die Verbindungen sind genau r lang. Du erhältst ein Dreieck, das von den Endpunkten der Sehne und dem Mittelpunkt des Kreises begrenzt wird.

4. Zeichne die Mittensenkrechte auf die Sehne ein. Sie ist genau h lang.

Die Mittensenkrechte teilt das Dreieck in zwei gleiche Dreiecke. Wende auf eins der kleinen Dreiecke Pythagoras an und voila!

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Deine Fomel d = 2 * sqrt(r² - h²) stimmt.

Dafür bekommst du von mir den Stern sobald die 24 Stunden rum sind !

Kommentar von PhotonX ,

Vielen Dank, hoffe, du hast die Formel auch selbst nochmal herleiten können! :)

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, ich war nicht auf die richtige Lösungsstrategie gekommen.

Ich danke dir !

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich habe jetzt dank eurer Antworten eine schöne Herleitung für die Volumenformel der Kugel gefunden -->

http://goo.gl/LM5fwq

Kommentar von PhotonX ,

Super, eine schöne Sache! Du könntest jetzt auf die gleiche Art versuchen die Formel A=pi*r^2 für die Kreisfläche herzuleiten, die du ja bei deiner Herleitung der Volumenformel verwendet hast.

Kommentar von fjf100 ,

Die Formel für das Volumen einer Kugel,findest du auch im Mathe-Formelbuch.

Volumen eines Körpers in Kugelkoordinaten

V= S S S r^2 *cos(phi) * dr *d(phi) * d(g) hier ist S das Integralzeichen und d(g) g=Winkel Gamma.

Du Brauchst also nur dieses Dreifachintegral lösen.

Kapitel "Volumen von Rotationskörpern"

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 35

Die Herleitung,weis ich nicht ,aber in meinen Mathe-Formelbuch steht

d=s=2 * Wurze(2*h *r - h^2) hier ist r der Radius des Kreises und h ist der Abstand vom Umfang des Kreises,bis zur Sehne.h bildet mit der Sehne einen rechten Winkel und steht genau in der Mitte der Sehne.

Du musst also nur h als Betrag einsetzen und nicht mit Minus !!

Die Formel ist unabhängig von der Lage des Kreismittelpunkts. mit der Mittelpunktgleichung für den Kreis x^2+y^2=r^2 oder y=+/- (r^2 - x^2)^0,5

Quelle :Taschenbuch Mathematischer Formeln Verlag Harri Deutsch 1985

Kapitel "Geometrie" ,kreis und die Mittelpunksgleichung im Kapitel "vektorrechnung ,Anaytische Geometrie . 

TIPP : zeichne einfach einen Kreis mit r=2 cm und überprüfe die Formel.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Kommentar von DepravedGirl ,

Ich habe jetzt dank eurer Antworten eine schöne Herleitung für die Volumenformel der Kugel gefunden -->

http://goo.gl/LM5fwq

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 53

Falls ich mich zu ungenau ausgedrückt habe.

Die Sehne soll absolut / perfekt horizontal eingebettet sein !, also in der Höhe h horizontal durch den Kreis laufen.

Antwort
von Spockyle, 57

d = sqrt[2(r² + h²)]

Ich hoffe, wir meinen jetzt die selben Bezeichnungen. Wir haben die Lücken mit Mathemagie gefüllt ;)

Tipp: Satz des Pythagoras

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für deine Antwort !

Ich habe deine Formel mal geprüft und r = 1 gesetzt (Einheitskreis).

d = sqrt[2(1² + h²)]

Wertetabelle -->

h = -1 --> d = 2

h = 0 --> d = sqrt(2)

h = +1 --> d = 2

Deine Formel stimmt also nicht, sorry.

Folgendes muss ja gelten -->

h = - r --> d = 0

h = 0 --> d = 2 * r

h = + r --> d = 0

mit r = 1 also -->

h = - 1 --> d = 0

h = 0 --> d = 2

h = + 1 --> d = 0

Kommentar von PhotonX ,

Ich komme auf d=2sqrt(r²-h²) (Rechnung wie in meiner Antwort beschrieben).

Kommentar von ralphdieter ,

@Spockyle: Dein Zauberstab ist verbogen: r ist die Hypho... Hyto... Grundline, und d/2 sowie h die anliegenden Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, also:

    r² = (d/2)² + h².

@DepravedGirl: Das muss ja nun wirklich eine Mega-Silverterparty gewesen sein. (Dass Du hier sooo triviale Fragen stellst, bin ich von Dir gar nicht gewohnt.)

Kommentar von DepravedGirl ,

;-))

Ja, ich hatte viel Spaß zu Sylvester :-))

Ich wollte die Formel möglichst schnell haben und auf die Schnelle fiel mir dazu keine Lösung ein.

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