Frage von lol07, 43

Wie kann man die Schnittpunkte von linearer und quadratischer Funktion beziehungsweise zwei quadratischen Funktonen ermitteln?

Hallo alle zusammen, ich möchte, wie oben in der Frage erklärt, wissen, wie man die Schnittpunkte zwischen einer linearen Funktion und einer quadratische Funktion berechnet, die Schnittpunkte zweier Parabeln berechnen kann?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von rofl07, 11

Hallo lol07,
du kannst Schnittpunkte jeder Funktion berechnen, indem du die Funktionsgleichungen gleichsetzt:

Hier mal ein Beispiel für die Schnittpunkte einer linearen Funktion und einer quadratischen Funktion (Parabel): Du hast eine lineare Funktion (y=mx+n) mit: y1=5x+7 und eine quadratische Funktion (y=ax²+bx+c) mit y2=2x²-6x+8 und möchtest davon die Schnittpunkte berechnen. Du setzt die Funktionsgleichungen gleich zu y1=y2 und zu 5x+7=2x²-6x+8, dann subtrahierst du als äquivalenten Umformungsschritt 5x+7 von der Gleichung, so dass du eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form (0=ax²+bx+c), die du in die Normalform (0=x²+px+q) überführen musst, indem du diese quadratische Gleichung als äquivalenten Umformungsschritt durch den Parameter a, also 2 teilst.

Dann erhälst du eine quadratische Gleichung in der Normalform (0=x²+px+q) mit 0=x²-5,5x+0,5 erhälst. Mithilfe der p-q-Formel (x1/2=-(p/2)+/-√((p/2)²-q)), wo du nur p=-5,5 und q=0,5 einsetzen musst. Dann erhälst du zwei Ergebnisse.

Berechnung Ergebnis 1: x1=-(p/2)+√((p/2)²-q),dann setzt du p=-5,5 und q=0,5 ein und erhälst x1=-2,75+√7,0625, was x1=-0,09 (gerundet).

Berechnung Ergebnis 2: x2=-(p/2)-√((p/2)²-q), durch Einsetzen erhälst du dann x2=-2,75-√7,0625 und erhälst anschließend x2=-5,41 (gerundet). Dann hast du die x-Werte der Schnittpunkte und möchtest noch die y-Werte erhalten. Diese erhälst du, indem du x1 und x2 jeweils in einer der beiden Funktionsgleichungen einsetzt. Also setzt du am besten beide in y1 ein, weil das einfacher zu rechnen ist.

Berechnung des 1.y-Wertes: Man setzt zur Berechnung des y-Wertes vom ersten Schnittpunkt den Wert für x1 in eine Funktionsgleichung ein, nehmen wir die Funktionsgleichung von y1. Also y1=5x+7 und erhalten dann y1=5*-0,09+7 und y1=6,55. Wir haben schon den Schnittpunkt S1(-0,09/6,55).

Berechnung des 2.y-Wertes: Du setzt diesmal x2 in einer der beiden Funktionsgleichungen ein, am besten in y1. Dann erhälst du y2=5x+7 und y2=5*6,55+7 nebst y2=39,75 und wir sind für diesen Fall fertig.

Schauen wir uns den Fall mit den Schnittpunkten zweier Parabeln an, nehmen wir y1=2x²+4x+6 und y2=-3x²+6x+9. Wir setzen die Funktionsgleichungen wieder gleich, so dass wir y1=y2 erhalten und wir 2x²+4x+6=-3x²+6x+9 bekommen. Wir stellen die Gleichung so um, dass eine quadratische Gleichung herauskommt, also subtrahieren wir 2x²+4x+6 von der gesamten Gleichung und erhalten mit 0=-5x²+2x+3 eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form (0=ax²+bx+c), die wir zur Überführung in die Normalform (0=x²+px+q) durch a, also -5 dividieren müssen. Dann erhalten wir 0=x²-0,4-0,6.

An dieser Gleichung können wir nun die p-q-Formel (x1/2=-(p/2)+/-√((p/2)²-q) anwenden. Daraus erhalten wir wieder zwei Ergebnisse:

Berechnung des 1.x-Wertes: Wir setzen wieder p=-0,4 und q=-0,6 ein. Also x1=-0,2+√0,64, also kommt als Ergebnis x1=0,6 heraus.

Berechnung des 2.x-Wertes. Wir setzen p=-0,4 und q=-0,6 ein, so dass wir x2=-0,2-√0,64 und als Ergebnis x2=-1 erhalten. Danach musst du nur noch die jeweiligen y-Werte ermitteln, das machst du wieder, indem du beide Werte in eine der beiden FUnktionsgleichungen einsetzt und diese dann berechnest.

Berechnung von y1: Wir berechnen zuerst y1, indem wir x1 in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen, also y1. y1=2x²+4x+6 und y1=2*0,6²+4*0,6+6 und erhalten dann y1=0,72+2,4+6 und y1=9,12 und haben den Schnittpunkt S1(0,6/9,12 herausbekommen.

Berechnung von y2: Wir setzen hierfür x2 in eine der beiden Funktionsgleichungen ein, nehmen wir y2. Damit erhalten wir y2=-3*(-1)²+6*(-1)+9 und y2=3-6+9, das Ergebnis lautet dann also y2=6. Wenn du noch Fragen haben solltest, stehe ich dir gerne zur Verfügung,

Gruß rofl07

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 11

Du schreibst tatsächlich zwischen die beiden rechten Seiten ein Gleichheitszeichen. Danach bringst du alles von rechts auf die linke Seite, sodass rechts Null steht. (Aufpassen! Vorzeichen umdrehen!)
Das fasst du dann zusammen.

Wie üblich dividierst du dann durch die Zahl, die vor der höchsten x-Potenz steht.

Wenn jetzt nur noch eine quadratische Gleichung dasteht, hast du gewonnen und kannst die p,q-Formel anwenden, die du gewöhnlich für die Nullstellen brauchst. Es sind aber gar keine Nullstellen, sondern die x-Werte der Schnittpunkte, die da herauskommen. Diese setzt du in eine der Ursprungsgleichungen ein, um die y-Werte der Punkte zu erhalten.

Wenn eine Gerade dabei ist, nimm sie, sonst die Gleichung, die einfacher aussieht.


Hast du gelernt, mit der Mitternachtsformel zu rechnen, weißt du ja, dass du nicht durch den Koeffizienten der höchsten Potenz zu dividieren brauchst.


Sollte eine Gleichung von höherem Grad herausgekommen sein, musst du Polynomdivision machen oder Substitution oder was du so alles kennst. Und nie die y-Werte vergessen!


Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 18

einfach beide Funktionen gleichsetzen und nach x auflösen, z. B.:
f(x)=3x+2; g(x)=1/2x²-2x-1
f(x)=g(x) => 3x+2=1/2x²-2x-1

Das nun nach x auflösen und die Ergebnisse in eine der beiden Funktionen einsetzen um die entsprechenden y-Werte der Schnittpunkte zu ermitteln.

Antwort
von Girschdien, 19

beide Funktionen gleich setzen, x ausrechnen.

Beispiel: F1(x)=x², F2(x)=3x-1

x²=3x-1

x²-3x+1=0

Nullstelle bestimmen.

Antwort
von Biscuitdealer, 18

Schnittpunkt zw. linearer und qudratischer Funktion:

du setzt bei gleich, stellst dan so um das 0=...     dann benutzt du die pq Formel, wenn es einen Schnittpunkt/e gibt erhälst du 1 oder 2 Werte für x, diese setzt du dann jeweils beide in eine der beiden Formeln für x ein und erhälst den daszugehörigen y Wert zum x Wert

Antwort
von rofl07, 7

Nochmal die Schritte zusammengefasst:

1.Funktionsgleichungen gleichsetzen

2.Gleichung zu einer quadratischen Gleichung umstellen

3.Wenn nötig von der allgemeinen Form (0=ax²+bx+c) in die Normalform überführen (0=x²+px+q)

4.Anwenden der p-q-Formel

5.x-Werte der Schnittpunkte in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen zur Berechnung der dazugehörigen y-Werte

6.Berechnen und Ergebnisangabe

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