Frage von StudentHN, 33

Wie kann man den Grenzwert folgender Funktion berechnen?

Hallo liebes Forum,

ich habe folgende untenstehende Funktion:

Ich möchte hier den Grenzwert für Minus unendlich bestimmen. Was kann ich hier tun? d. h. die Potenz mit höchstem Exponenten ausklammern und dann entsprechend schauen.

SO habe ich bei der Aufgabe das ganze so gemacht:

x^4 * (1/x^4 - x^4) / x^4 * (1/x^4 + 1)

Bleibt 0 - 0 / 0 + 1 = 0

Grenzwert istz 0.

Ist das richtig?

Danke

Gruß

Marc

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 18

Hallo,

für x gegen minus unendlich rauscht das Ding mit Vollgas in den Keller, sprich: gegen minus unendlich.

Du kannst die Regel von l'Hospital anwenden und die Ableitung des Zählers wie des Nenners auf den Grenzwert untersuchen:

-(8*x^7)/(4*x^3)=-2*x^4

Wenn Du für x minus unendlich einsetzt, bleibt der Term negativ, geht aber gegen unendlich, also gegen minus unendlich.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von StudentHN ,

Super, verstanden. Aus 100 Seiten im Buch nichts verstanden, aber 5 Minuten deine Antwort durchlesen, 100% verstanden. 

Kommentar von Willy1729 ,

Super. Freut mich. Alles Gute weiterhin.

Kommentar von StudentHN ,

wenn z. B. kein nenner vorhanden ist, kann ich das iHospital trotzdem anwenden?

Kommentar von Willy1729 ,

Nein. Ist dann ja auch nicht nötig.

Ohne l'Hospital hast Du das Problem, daß im Nenner eine Null steht und Du deshalb den Grenzwert nicht ordentlich bestimmen kannst:

Ausklammern von x^8:

x^8*[(1/x^8-1)/(1/x^8+1/x^4)] ergibt im Nenner, wenn x gegen minus unendlich geht (ist übrigens wegen der geraden Exponenten egal, ob minus oder plus unendlich), 0+0=0, während Du im Nenner als Grenzwert -1 erhältst. -1/0 ist aber nicht definiert.

Wenn Du l'Hospital anwendest, was immer dann geht, wenn Zähler und Nenner gegen Null oder gegen unendlich gehen, was ja hier der Fall ist, hast Du dieses Problem nicht.

In den Ableitungen verschwinden die beiden Einsen, so daß Du nun die x^7 und die x^3 gegeneinander kürzen kannst, was vorher wegen der Summenterme nicht möglich war.

Nun bekommst Du einen Grenzwert, der sich berechnen läßt.

Effektiver, aber von den Lehrern nicht gern gesehen, ist die Methode der Ingenieure: Du betrachtest einfach die beiden x-Potenzen:

-x^8 und x^4

Minus durch Plus ergibt Minus und x^8 gewinnt gegen x^4, der Zähler steigt also schneller an als der Nenner. Ergebnis: Grenzwert für x gegen unendlich (ob minus oder plus ist wie gesagt wurscht wegen der geraden Exponenten) ist minus unendlich. Fertig. Das geht auf einen Blick, aber Mathelehrer mögen's nicht.

Kommentar von Willy1729 ,

Irgendwie habe ich jetzt gerade Blödsinn verzapft. Das mit l'Hospital stimmt. Allerdings brauchst Du den hier gar nicht, wenn Du oben x^8 ausklammerst und unten x^4:

[x^8*(1/x^8-1)]/[x^4*(1/x^4+1)]

Nun kannst Du x^8 gegen x^4 kürzen:

[x^4*(1/x^8-1)]/(1/x^4+1)

Wenn Du für x nun minus unendlich einsetzt, geht 1/x^8 im Zähler gegen Null, ebenso 1/x^4 im Nenner und es bleibt:

[x^4*(-1)]/1 und das geht gegen minus unendlich.

In anderen Fällen funktioniert so etwas aber eben nicht und dann wird l'Hospital gebraucht.

Kommentar von Willy1729 ,

Auf jeden Fall siehst Du so, daß nicht nur ein Weg zum Ziel führt.

Kommentar von StudentHN ,

okay, das habe ich verstanden, d. h. wenn ich ausklammern kann, mach ich es, ansonsten benutze ich Hospital. wir haben in der schule komplizierte brüche, aber mit hospital geht das locker alles. 

Kommentar von Willy1729 ,

l'Hospital darfst Du aber nur anwenden, wo Du einen Quotient von zwei Folgen hast, die nicht gegen einen konkreten Grenzwert streben, wie 2 oder -5,3 oder etwas in der Art, sondern gegen einen unbestimmten Ausdruck wie 0/0, unendlich, 1^unendlich oder so.

Im anderen Fall aber kannst Du den Grenzwert ohnehin auch direkt bestimmen (Ausklammern usw.)

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 16

Es bleibt -x^4/1 übrig [x^4 kürzt sich weg, und die Brüche werden Null für x->unendlich]. Und der Grenzwert für -x^4 ergibt minus-unendlich für x->minus-unendlich. [-x^4=-1 * x^4;x^4 ist immer positiv; *(-1) daher negativ]

Kommentar von StudentHN ,

Verstanden, echt top!

Antwort
von Othiz, 20

Warum konvergiert -x^4 im Zähler denn gegen 0?
Der Zähler geht gegen minus unendlich, der Nenner gegen 1. Der Grenzwert ist also minus unendlich.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 14

bei mir

( 0 - (-oo)^4 ) / ( 0 + 1)

= -oo

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten