Frage von precursor, 106

Wie kann man das verallgemeinern?

Die Integrationskonstante C lasse ich nachfolgend immer weg, weil ich C = 0 brauche.

∫ sin(k * x) * b * x ^ 0 = - b * cos(k * x) / k

∫ sin(k * x) * b * x ^ 1 = b * (sin(k * x) - k * x * cos(x)) / k ^ 2

∫ sin(k * x) * b * x ^ 2 = b * ((2 - k ^ 2 * x ^ 2) * cos(k * x) + 2 * k * x * sin(k * x)) / k ^ 3

∫ sin(k * x) * b * x ^ 3 = - b * (k * x * (k ^ 2 * x ^ 2 - 6) * cos(k * x) - 3 * (k ^ 2 * x ^ 2 - 2) * sin(k * x)) / k ^ 4

und so weiter, und so weiter.

Allgemein also -->

∫ sin(k * x) * b * x ^ m wobei m ∈ N+ sein soll.

Da ist ganz eindeutig ein Muster drin, aber ich kann nicht erkennen welches ;-((

Wolfram Alpha kann ich nicht fragen, weil ich nicht weiß wie ich Wolfram Alpha klar machen soll, dass m ∈ N+ sein soll, Wolfram Alpha hält m immer für ein Element der reellen Zahlen und kommt dann mit der Gammafunktion und der imaginären Einheit angekrochen, wobei ich dann nicht weiß wie man das mit einem Computer ausrechnen soll.

Ich stelle diese Frage nicht aus Jux und Tollerei oder weil ich ein gelangweilter Mathematik-Troll bin, sondern weil ich momentan gerade versuche ein Computer-Porgramm zu programmieren (würde zu lange dauern zu erklären wofür), wobei ich dann dieses Muster von oben durchschauen müsste.

Meine Frage lautet nun -->

Durchschaut jemand von euch welchem Muster die oben genannten Integrale folgen ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von ELLo1997, 45

Schreib dir die ersten paar Fälle nochmal neu auf und zwar entweder nach absteigenden x-Potenzen (besser) oder k-Potenzen.
Habe mal die "Formel" angefügt, die ich gefunden habe, ist zwar schwierig zu erklären aber ich versuchs mal: Das ganze beginnt immer mit -xⁿ/k * cos(kx).
Danach geht es folgendermaßen weiter: Die xⁿ Potenz wird bei jedem neuen Summanden gedanklich abgeleitet bis n! * x⁰. Die k Potenz wird bei jedem neuen Summanden um 1 erhöht bis k+1. Sinus und Cosinus wechseln sich ab. Die Vorzeichen gehen - - + + - - ... . Jetz kommt der Punkt den ich noch nicht ganz geknackt habe, aber wenn su es programmierst sollte es vielleicht kein so großes Problem darstellen. Das Vorzeichen vom letzten Term hängt davon ab, wie viele Terme davor sind (siehe Vorzeichenfolge oben, die aber auch nur eine Vermutung ist. Jedoch wäre sie gewissermaßen logisch, da beim Ableiten auch diese Folge auftritt). Was jedoch bei de ersten Termen immer zutrifft ist, dass bei n gerade der letzte Term ein Cosinus ist und ansonsten ein Sinus. Hab dir das Bild angehängt. (alle Angaben ohne Gewähr^^)

Lg

Kommentar von ELLo1997 ,

Ach ja: b hab ich gleich weggelassen, da man es ja am Anfang aus dem Integral nehmen kann.

Kommentar von precursor ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Ich schaue es mir mal in Ruhe an.

Kommentar von precursor ,

Hallo Ello1997 !

Du bist ein Mathe-Genie, hat dir das schon mal jemand gesagt ;-))

Deine Antwort hats gebracht.

Ich habe es mit n = 5 ausprobiert, also mit ∫ sin(k * x) * x ^ 5 und folgendes bei WolframAlpha eingegeben -->

derivate (-x^5/k*cos(k*x)+5*x^4/k^2*sin(k*x)+20*x^3/k^3*cos(k*x)-60*x^2/k^4*sin(k*x)-120*x/k^5*cos(k*x)+120/k^6*sin(k*x))

Ich habe also die Stammfunktion wieder abgeleitet, dann muss ja wieder die Originalfunktion rauskommen, und schaue mal hier -->

http://goo.gl/82UGey

Es kommt wirklich wieder sin(k * x) * x ^ 5 raus ;-)) !!

Bei deiner Antwort stimmt alles, nur den letzten Term brauchte ich gar nicht, den habe ich einfach weggelassen und dann das richtige Ergebnis raus bekommen.

Wenn man den letzten Term auch noch benutzt, dann erhält man stattdessen nämlich folgendes -->

http://goo.gl/uWnidg

Du hast dir deine Auszeichnung zur hilfreichsten Antwort wirklich verdient, die ich dir geben werde !

Es war eine gute Idee das bei Gutefrage.net rein zu stellen.

Kommentar von ELLo1997 ,

Vielen Dank für dein Lob! :-)

Wegen des letzten Terms - das ist vielleicht unklar angekommen: Damit wollte ich eigentlich nur andeuten, dass die Reihe endlich ist und bei diesem Term aufhört - er muss nicht extra dazuaddiert werden.

Bei deinem Bsp mit x⁵ wäre der letzte Term laut meiner Formel ein Sinus (da n ungerade ist) und hätte den Koeffizienten n!/k^(n+1) also 120/k⁶. Insgesamt also genau das, was beim Anwenden der Formel "von vorne nach hinten" als letzter Term rauskommt.

Aber nichtsdestotrotz - nochmals vielen Dank!

Lg

Kommentar von precursor ,

Ja, ok, dann war ich etwas dämlich ;-))

Nochmals vielen Dank !!

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 37

Ich kann darin jetzt spontan auch kein Muster erkennen.

Ich würde dir allerdings empfehlen, die vier Gleichungen auszumultiplizieren und dir ordentlich auf einem Blatt Papier hinzuschreiben.

Vielleicht kannst du dann ein Muster erkennen.

Ich sitze gerade im Zug, kann also momentan nichts aufschreiben - wenn du dann noch nicht weitergekommen bist, schau ich es mir heut Abend (bzw. eher heut Nacht ^^) noch mal an.

LG Willibergi

Kommentar von precursor ,

Danke !

Ich werde es mir die nächste Zeit immer wieder mal anschauen.

Vielleicht gelingt es mir ja irgend wann mal stattdessen mit der Gammafunktion zu rechnen die Wolfram Alpha präsentiert, obwohl die mit Sicherheit übers Ziel hinaus schießt.

Antwort
von fjf100, 24

Integral ( x^1 * sin(k *x) * b= 

Es liegen hier 2 Terme mit x vor,die nicht zusammengefasst werden können,deshalb verwendet man die "Partielle Integration"

Formel : Int ( u *dv *dx= u*v - Int (v*du)

Beispiel : Int ( x * sin(x) *dx=

u=x abgeleitet u´=du/dx= 1 ergibt du= 1 *dx

dv= sin(x) integriert ergibt v= - cos(x) siehe Mathe-Formelbuch Grundintegrale

eingesetzt

int(x *sin(x) *dx= x * - 1 *cos(x) - int( - 1 *cos(x) * dx

Int ( x * sin(x) *dx = x - cos(x) + sin(x) + C

bei dir Int (  b *x^2 *sin(k *x) dx

b ist eine Konstante,die vor das Integralzeichen gezogen werden kann

wegen x^2 muss die "Partielle Integration" 2 mal durchgeführt werden,weil u=x^2 abgeleitet u´=du/dx=2 * x ergibt du= 2 * x *dx

Integration von Int (sin(k *x) "Integration durch Substitution"

HINWEIS : Int ( b *x^0 * sin(k*x)= b * 1 * Int(sin(k*x) *dx=

Hier braucht die "Partielle Integration nicht angewendet werden,weil ja vorgezoegen werden kann und x^0= 1 ist

Kommentar von precursor ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Aber, was jetzt das allgemeine Muster ist, im günstigen Fall mittels Summenzeichen und Produktzeichen ausgedrückt, weiß ich dadurch trotzdem nicht.

Wenn ich dich richtig verstanden habe, dann hast du mir nur gezeigt wie man von Hand partiell ableitet, aber nicht was das allgemeine Muster von ∫ sin(k * x) * b * x ^ m mit m ∈ N+ ist.

Kommentar von precursor ,

*von Hand partiell integriert wollte ich sagen

Kommentar von fjf100 ,

Das Muster ist Integral ( b * x^n * sin(k *x)

b= Konstant und wird vor das Integralzeichen gezogen

der Exponent n steigt mit jeder Gleichung n=0,1,2,3,4 usw.

je höher n ,desto komplizierter wir die Integration !

Antwort
von ELLo1997, 40

Blöde Frage von mir: Warum glaubst du denn, dass es ein Muster gibt, bzw. kannst du eines erkennen?

Kommentar von precursor ,

Was ich erkenne -->

1.) am Anfang steht entweder immer b oder -b

2.) Es steht am Ende immer / k ^ (m + 1)

Da ist ganz sicher ein Muster drin, aber ich weiß leider nicht welches das ist ;-((

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