Frage von momo123momo, 32

Wie kann man das mit der polynomdivision lösen?

(Wurzel aus x  - Wurzel aus 2 ):(x-2)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 9

Was stellst du dir da denn unter Polynomdivision vor? Der Dividend mit seinen Wurzeln ist eh schon kleiner als der Divisor. Wenn es eine Funktion ist, solltest du natürlich nicht kürzen, weil der Nenner 0 werden könnte.

Da die 3. Binomische Regel im Spiel ist, kann man den Nenner zerlegen.


http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

x - 2 = (√x - √2) (√x + √2)

Eine Polynomdivision wäre denkbar, wenn man Zähler und Nenner vertauscht. In der jetzigen Form gibt es höchtens eine Kurve und ihre Asymptote (nebst ihrem imaginären Anteil).


Antwort
von poseidon42, 15

(x^(1/2) - 2^(1/2))/(x - 2)

Zunächst betrache den Nenner:

x - 2

es handelt sich bei diesem Ausdruck um eine Binomische Formel (die 3.):

---> x - 2 = (x^(1/2) + 2^(1/2)) * (x^(1/2) - 2^(1/2))

Einsetzen in den Anfänglichen Ausdruck liefert dann:

(x^(1/2) - 2^(1/2))/(x - 2)

= (x^(1/2) - 2^(1/2))/[(x^(1/2) + 2^(1/2)) * (x^(1/2) - 2^(1/2))]

dies liefert durch kürzen:

= 1/(x^(1/2) + 2^(1/2))

Kommentar von momo123momo ,

Ich wollte es aber mit der polynomdivison gelöst haben

Kommentar von poseidon42 ,



Um das mit der Polynomdivision zu lösen muss man ein wenig überlegen:

Substituire: x^(1/2) = z

Damit folgt der Ausdruck:

(z - 2^(1/2))/(z²- 2)

Dies hat keine sinvolle Vereinfachung, falls z² - 2 sich nicht also Produkt darstellen lässt in dem der Zähler als Faktor enthalten ist.

(Zählergrad < Nennergrad)

Somit lösen wir den Kehrbruch, falls dabei kein Rest entsteht haben wir die Lsg für unseren ursprünglichen Ausdruck gefunden:

Wir rechnen also:

(z² - 2) : ( z - 2^(1/2)) = z + 2^(1/2)

-(z² - 2^(1/2)z)

-----------------

2^(1/2)z - 2

-(2^(1/2)z - 2)

--------------

0

Damit gilt:

z² - 2 = (z - 2^(1/2))*(z + 2^(1/2))

Und damit die lautet die Lsg:

(z - 2^(1/2))/(z²- 2) = 1/(z + 2^(1/2))




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