Frage von klasf, 30

Wie kann man beweisen, dass die Wahl des Nullpunkts für die Bestimmung des Schwerpunkts keinen Einfluss hat?

Antwort
von Ahzmandius, 10

Als erstes, was heißt unabhängig von der Wahl des Nullpunktes?

Wenn du z. B. Eine Scheibe mit konstanter Dichte hast und den Mittelpunkt der Scheibe.in den Ursprung legst, dann liegt der Massenmittelpunkt.bei (000) sprich in der Mitte der Scheibe.
Auch wenn du den Ursprung wo anders legst wird zwar der Massenmittelpunkt nicht mehr (000) liegen, aber immer noch in der Mitte der Scheibe.

Jetzt kommt der Beweis ;-) :
Rs=1/M*Integral(r*dm)

Jetzt legen wir den Ursprung wo anders hin, das heißt wir verschieben unser System um einen beliebigen Vektor a.
Damit ändert sich die Schwerpunktberechnung wie folgt:
Rs'=Integral((r+a)*dm)
Wir müssen jetzt also zeigen, dass der neue Schwerpunkt gleich dem alten Schwerpunkt +a ist.

Z.z:
1/M*Integral((r+a)*dm) = Rs=1/M*Integral(r*dm)+a
Versuchs erst mal selbst ;-), solltest du Probleme haben, helfe ich gerne weiter.

Kommentar von Ahzmandius ,

da hatte ich mich verschrieben es sollte heißen: 1/M*Integral((r+a)*dm)=Rs+a

Antwort
von ProfFrink, 18

Die Schwerpunktsberechnung wird ja im allgemeinen mit Hilfe eines Integrals über alle beteiligten Massenelemente berechnet. Es werden Drehmomente integriert und letztlich gegeneinander verrechnet.

Die freie Wahl des Nullpunkts kann letztlich bei jedem beliebigen Integral durchgeführt werden. Es interessiert die Fläche unter der einer Kurve, ob diese Kurve nun von Kilometerstein 2 bis 7 oder von Kilometerstein 1002 bis 1007 betrachtet wird, spielt für die Flächenberechnung keine Rolle.

Die angehängte Grafik verdeutlicht den einfachen Zusammenhang. Die Formel kann gerne mit einer konkreten, einfachen Funktion ausprobiert werden.

Kommentar von Ahzmandius ,

Was meinst du eigenltich mit es werden Drehmomente Integriert?

Im Integral steht doch: r*dm, Drehmoment (M) wäre aber M=rxF. Das Passt doch schon mit den Einheiten nicht.

Kommentar von ProfFrink ,

Das ist richtig, was Du sagst. r*dm ist kein Drehmoment.

Aber die Schwerpunktsberechung beruht dennoch auf der Vorstellung, dass dass sich im Schwerpunkt alle Drehmomente dM aufheben. Streng genommen müsste man diese infitesimalen Drehmomente wie folgt definieren: dM = r x dF , wobei die infinitesimale Kraft dF wiederum aus der beteiligten Masse berechnet wird. Also: dF = g*dm . Da aber das g, die Schwerebeschleunigung überall gleich ist, kann man sie aus der Rechnung 'rauslassen. Wir interessieren uns ja auch nicht für absolute Drehmomente, sondern für Drehmomentverhältnisse. Da darf man gerne einen konstanten Faktor 'rauslassen. Er kürzt sich am Ende eh heraus.

Kommentar von Ahzmandius ,

Hm, diese Definitoin des Schwerpunktes bzw. Massemittelpunktes habe ich im Physikstudium nie gehört, ist sie so auch nur für Kräfte gültig, die einen rechten Winkel mit dem Raudius bilden.

Weiterhin ist g keine Konstante hier, sondern ein konstanter Vektor, denn sonst wäre df nur ein skalar und ein Kreuzprodukt mit einem Skalar macht keinen Sinn. Das heißt man müsste immer etwas in Form von g/|g| mitschleppen (Eineheitsvektor)

 Des Weiteren ist der Massenmittelpunkt ist auch ohne das Schwerefeld da.

Die eigentliche Grundidee hinter dem Massenmittelpunkt ist doch die reduktion eines Zweikörperproblems auf ein Ein-Körper-Problem. Und der Massenmitellpunkt ist eine Verallgemeinerung auf n-Masseteilchen bzw. Körper mit kontinuirlicher Masseverteilung, damit man bei Translationen von komplexen Objekten nicht jedes einzelne Teilchen betrachten muss.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten