Frage von emily2244, 23

Wie kann man beweisen dass die Ableitung der tangensteigung entspricht?

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 11

Differenzenquotient (de)y/(de)x=y2-y1) /(x2-x1)=f(x2) - f(x1)/(x2 - x1)

de)=griechiescher Buchstabe "delta

Das Intervall (x2 - x1)=h lassen wir nun gegen Null gehen

lim h gegen Null

x2=x1+h=x+h 

Beispiel : f(x)= x^2 ergibt f(x+h)=(x+h)^2= x^2+2*h*x+h^2

dy/dx=f´(x)= (f(x+h) - f(x)) /(h)= (x^2+2*h*x+h^2) - x^2) /h

f´(x)= x^2/h +2 *h /h * x + h^2/h - x^2/h= 2*x + h mit h gegen Null

f´(x)= 2*x+0 = 2*x

also ist der Grenzwert für lim h gegen Null bei f(x)=x^2 

f´(x)=2*x

HINWEIS : Mit h gegen Null,geht die "Sekantensteigung" (de)y=(de)x=(y2-y1)/(x2-x1) über in die "Tangentensteigung" dy/dx=f´(x) 

Kommentar von emily2244 ,

Ja aber was hat jetzt die tangentensteigukg mit der Ableitung zu tun?

Kommentar von emily2244 ,

Bzw. die tangentensteigung mit der Steigung an Punkt der Kurve ?

Kommentar von fjf100 ,

Mach eine Zeichnung mit f(x)=x^2 und wähle 2 Punkte 

x1=1 ergibt y1=1 alsp P1(1/1)

x2= 3 ergibt y2=9 also P2(3/9)

Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte ist also

(de)y/(de)x=(y2-y1)/(x2-x1)= (9 - 1)/(3-1=4

tan (a)=m=4 ergibt (a)=arc tan(4)=75,96° überprüfe das mit deinen Geodreieck zeichnerisch

Wie ist nun die Tangentensteigung an den Punkt x1=x=1

abgeleitet f´(x)=2 *x= 2 *1= 2 ergibt (a)=arctan(2)=63,43° überprüfe das auch zeichnerisch.

Aus der Zeichung siehst du,dass wenn du das Intervall 

(x2 - x1) immer kleiner wählst,die Sekantensteigung beim x-Wert x1=x=1 die Tangentensteigung im Punkt x1=x=1 y1=1 annimmt.

zeichne die Sekanten durch den Punkt P1(1/1) und den Punkten

x2=3 y3= 9 und x2=2,5 und y2=6,25 und x2=2 y2=4 und

x2= 1,5 y2=1,5^2=2,25

Du siehst,wie sich die Sekantensteigung sich immer weiter der Tangentensteigung nähert.

Antwort
von HeyichbinLea, 12

Wenn du hier von der ersten Ableitung sprichst, dann stimmt es. Beweisen jedoch kannst du es mit der H-Methode, indem du den Differentialquotienten ausrechnest. (Es gibt 2 Formeln) 

Kommentar von emily2244 ,

Kannst du mir das bitte genauer erklären?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 7

Beide werden über denselben Grenzwert (hier Differenzenquotienten) definiert.

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