Frage von precursor, 71

Wie kann man ausrechnen wie vertrauensvoll ein berechneter Mittelwert ist?

Hier mal ein ganz konkretes Beispiel, damit man merkt worauf ich hinaus will.

1.) Nehmen wir mal an man hat 10 Messwerte ermittelt.

22, 23, 23, 24, 5, 8, 8, 9, 25, 5

Dann errechnet man als Mittelwert den Wert 15,2

2.) Im zweiten Beispiel betrachtet man haargenau dasselbe Experiment (!!), doch diesmal hat man 79 Messwerte ermittelt.

22, 23, 23, 24, 5, 8, 8, 9, 25, 5

8, 24, 25, 7, 24, 9, 24, 7, 8, 22

5, 19, 7, 6, 9, 23, 5, 9, 7, 9

21, 19, 6, 5, 6, 21, 10, 7, 6, 8

24, 26, 9, 6, 7, 18, 20, 6, 8, 9

5, 20, 6, 26, 5, 9, 10, 5, 18, 20

7, 6, 22, 10, 22, 6, 10, 8, 5, 27

20, 10, 5, 20, 23, 9, 8, 27, 10, 6

22, 7, 22, 5, 6, 10, 24, 7, 27

Dann errechnet man als Mittelwert 12,83544


Es ist ja so, dass auf den Mittelwert der mit 79 Messwerten ermittelt wurde mehr Verlass ist, als auf den Mittelwert der nur aus 10 Messwerten ermittelt wurde.

Meine Frage lautet jetzt -->

Wie kann ich eine Aussage ausrechnen wie -->

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Mittelwert im Intervall von [a bis b].

Kann man das ausrechnen ?, und wenn ja wie genau ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Soproni, 19

Das geht mit dem sogenannten t-Faktor. Dazu berechnet man zunächst mal den Mittelwert, in deinem ersten Beispiel wäre das 15,2. Des Weiteren benötigt man die Standardabweichung (mal googlen bzw. online berechnen lassen). Ist diesem Fall gilt: s = 8,8

Du hast 10 Messwerte (n=10) genommen und möchtest nun wissen, in welchem Bereich ein Messwert mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt. Dazu werden im nächsten Schritt die Freiheitsgrade f bestimmt: f = n-1 . Hier also f = 10-1 = 9.

Dann kannst du in einer Tabelle den t-Faktor nachsehen. Zum Beispiel hier, die Tabelle ganz unten.

https://de.wikipedia.org/wiki/Studentsche_t-Verteilung

Also in der linken Spalte den Wert f = 9 suchen und den t-Faktor für den Vertrauensbereich 0,95 suchen. Hier: 2,262.

Zuletzt die ermittelten Werte noch in die Formel einsetzen:

x +- (t*s / Wurzel n) = 15,2 +- (2,262 * 8,8 / Wurzel 10) = 15,2 +- 6,3

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Messwert also in einem Bereich von 15,2 +- 6,3.

Die Vorgehensweise bei mehr oder weniger Messwerten ist die gleiche.

Kommentar von precursor ,

Super Antwort !, ich danke dir recht herzlich !

Antwort
von AquaFoxxx, 40

Beschäftige dich mal mit der "gaußschen Glockenkurve" (also indirekt mit Standardabweichungen).

Mittels Gauß kann man dann zum Beispiel sagen: 95% der Ergebnisse befinden sich +- 3 Standardabweichungen um den Soll-/Mittelwert.


Kommentar von precursor ,

Ok, schaue ich mir mal an, Danke !

Kommentar von Wechselfreund ,

Die 3-Sigma-Umgebung beinhaltet 99,7%. Zu 95% gehört die 1,96 Sigma-Umgebung.

Antwort
von gfntom, 46

Der Mittelwert liegt zu 100% dort, wo ihn das Rechenergebnis angibt.

Du möchtest wahrscheinlich wissen, in welchem Intervall sich die Messgröße mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet.

Googel am Besten nach "Standardabweichung".

Kommentar von precursor ,

Ich dachte mein Satz -->

Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Mittelwert im Intervall von [a bis b].

wäre verständlich genug gewesen.

Aber Danke, ich werde danach schauen.

Kommentar von gfntom ,

Der Satz war schon verständlich, aber sinnlos!

Den Mittelwert berechnest du. Wenn du dich nicht verreichnest, hast den exakten Wert, ein Intervall ergibt keinen Sinn!

Was einen Sinn ergibt:

Mit einer Wahrscheinlichkeit  von 95% liegt die Messgröße im Intervall von [a bis b] um den berechneten Mittelwert der Messwerte.

Falls du das gemeint hast: ja, dein Satz war verständlich genug (immerhin habe ich es ja so vermutet), aber er fragt nicht nach dem, was du eigentlich wissen willst!

Kommentar von precursor ,

Ok

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 38

Je mehr Messwerte du hast, desto genauer wird dein Mittelwert.

Wenn du x Mal würfelst, müsste der Mittelwert auch genau bei 3 liegen, es ist aber auch möglich, dass er bei 3,5 oder 2 liegt.

Genau gesagt, müsstest du unendlich Mal würfeln, damit der Mittelwert der Augen bei genau 3 liegt.

Fast immer ist es sogar so, dass der Mittelwert nicht genau bei 3 liegt.

Je öfter du würfelst, desto mehr nähert sich der Mittelwert der 3 an.

Genauso ist es bei den Messwerten.

Das ganze hat mit Varianz und Standardabweichung zu tun.

Siehe dazu auch hier: http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/standardabweichung-berechnen.html

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von precursor ,

Ich weiß jetzt zwar nicht wie du auf den Mittelwert 3 kommst, aber ich nehme an, dass das nur ein Beispiel von dir war.

Recht herzlichen Dank für deine Antwort, beste Antwort bis jetzt.

Kommentar von gfntom ,

Der Mittelwert bei "unendlich oft Würfeln" liegt bei 3,5 und nicht bei 3! ;)

Kommentar von Willibergi ,

handvordenkopfschlag Danke! ^^

LG Willibergi

Antwort
von iokii, 22

Das Ding nennt sich übrigens "Konfidenzintervall".

Kommentar von precursor ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !, das hilft weiter.

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