Wie kann man arcsin(x) bzw. arccos(x) ohne Taschenrechner berechnen?
Es ist könnte ja so eine Schande sein, dass die Menschen nach dieser ganz langen Zeit von der Arbeite mit Mathematik, keine Methoden herausgefunden die beiden auf Papier ausrechnen zu können!!
3 Antworten
Du könntest arcsin und arcos z.B. über die Reihenentwicklung mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Kannst ja mal ausprobieren, wie lange du brauchst, um auf die selbe Genauigkeit zu kommen, wie dein Taschenrechner 🙂
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Arkussinus_und_Arkuskosinus#Reihenentwicklungen
Das ist keine Schande, denn es ist nahezu nicht möglich.
Allerdings konnten die Schüler, weil sie es lernten, früher etwas geschickter mit Wurzeln, Logarithmen und Winkelfunktionen umgehen. Da gab es Tabellen, die man dann sinnvoll anwenden musste.
Um dann etwas schneller zu sein, gab es den Rechenschieber, eine Abblidung der Logarithmengesetze auf ein Gerät mit einer verschieblichen Zunge.
Natürlich ist der Taschenrechner schneller. (Es weiß nur kaum noch jemand, wie er das eigentlich macht. Und das könnte mal zu einem Problem werden.)
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Prinzipiell kann man aber auch den Arcus Tangens und die anderen alle zu Fuß ausrechnen.
§1: Taschenrechner verwenden nur Näherungsformeln und zeigen wenige Stellen an (für mich absolut inakzeptabel, da ich immer über 30 Stellen brauche)
§2: zu "Methoden": Wissenschaftler reden von Algorithmen. Ob man dieses Schrittweise Abarbeiten (Bildungsgesetz) auf Papier macht, oder per Programm an einen PC übergibt, ist nur eine Frage der Zeit und Zuverlässigkeit.
§3: zu 99,9% kommen immer irrationale Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen heraus, wenn man nicht Spezialfälle betrachtet wie hier:
http://www.gerdlamprecht.de/sin(x)ExactTrigonometricConstants.htm
Es ist also eine Frage der Genauigkeit und Zeit, wann man ein Algorithmus abbricht und ob ein Algorithmus überhaupt geeignet ist.
§4: natürlich gibt es hunderte von Algorithmen für asin(x) und acos(x):
Summen:
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSin/06/ShowAll.html
Kettenbrüche:
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSin/10/
hypergeometrische Funktionen:
http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ArcSin/26/ShowAll.html
Mir gefallen die letzteren, da man mit dem Algorithmus der hypergeometrischen Funktionen auch noch zig andere Funktionen berechnen kann!
(unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php
konnte ich so 80% mit diesen Funktionen {nur andere Parameter} berechnen, ohne immer wieder neue Algorithmen schreiben zu müssen; und es funktioniert auch mit komplexen Zahlen )
Wenn es genug Interesse gibt, können wir hier mal schriftlich einen interessanten Wert ausrechnen -> und zwar genauer als normale Taschenrechner, die nur ungenau rechnen
( http://www.gerdlamprecht.de/GrobeFPU_Fehler.htm
Tabelle unten )