Wie kann ich sowas herauskriegen?

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1 Antwort

zu a) (i): Ist x = 0, so gilt offenbar limn→∞ fn(x) = 0. Ist x 6= 0, so gilt fn(x) = 1 x · nx2 e −nx2 fur jedes ¨ n ∈ N. Wegen x 6= 0 gilt limn→∞(nx2 ) = ∞, sodass mit Hilfe des Hinweises limn→∞ fn(x) = 0 auch fur ¨ x 6= 0 folgt. Die Funktionenfolge konvergiert also punktweise auf ganz R gegen die Nullfunktion. Wir zeigen nun, dass die Konvergenz jedoch nicht gleichm¨aßig ist. W¨are die Konvergenz gleichm¨aßig, so g¨abe es zu jedem  > 0 ein n0 ∈ N mit |fn(x)| <  fur alle ¨ x ∈ D und alle n ≥ n0. Insbesondere musste dann ¨ fn 1 n  <  fur alle ¨ n ≥ n0 gelten. Wir erhielten also limn→∞ fn 1 n  = 0. Es gilt jedoch fn  1 n  = e− 1 n −−−→ n→∞ 1. Also liegt keine gleichm¨aßige Konvergenz vor. zu a) (ii): In Teil a) haben wir bereits die punktweise Konvergenz gegen die Nullfunktion auf ganz R eingesehen; darum gilt dies a fortiori auf dem Intervall (−∞, 2]. Hier liegt aber sogar gleichm¨aßige Konvergenz vor. Sei n¨amlich  > 0 beliebig. Aus limy→∞ ye −y = 0 ergibt sich die Existenz einer Zahl M > 0 derart, dass 0 < ye −y <  fur alle ¨ y > M gilt. Fur jedes ¨ n ∈ N mit n > M 4 erhalten wir alsdann nx2 ≥ 4n > M fur alle ¨ x ≤ −2. Folglich gilt |fn(x)| = 1 x · nx2 e −nx2 ≤ 1 2 · nx2 e −nx2 <  fur alle ¨ n > M 4 und alle x ≤ −2. Mithin konvergiert die Funktionenfolge auf (−∞, 2] gleichm¨aßig gegen die Nullfunktion. zu a) (iii): Es gilt |fn(x)| = nx 1 + n2x 2 = 1 1 nx + nx ≤ 2 n fur alle ¨ x ∈ [ 1 2 , 1] und n ∈ N. Daher konvergiert die Funktionenfolge auf [ 1 2 , 1] gleichm¨aßig (und dementsprechend auch punktweise) gegen die Nullfunktion. zu a) (iv): Fur ¨ x = 0 gilt offenbar limn→∞ fn(x) = 0 und fur ¨ x 6= 0 erhalten wir fn(x) = nx 1 + n2x 2 = 1 nx · 1 1 + 1 (nx) 2 −−−→ n→∞ 0 wegen limn→∞ nx = ∞. Also konvergiert die Funktionenfolge auf [0, 1] punktweise gegen die Nullfunktion. Hier liegt allerdings keine gleichm¨aßige Konvergenz mehr vor. W¨are die Konvergenz n¨amlich gleichm¨aßig, so g¨abe es zu jedem  > 0 ein n0 ∈ N mit |fn(x)| <  fur ¨ alle x ∈ D und alle n ≥ n0. Insbesondere musste dann ¨ fn 1 n  <  fur alle ¨ n ≥ n0 gelten. Wir erhielten also limn→∞ fn 1 n  = 0. Es gilt allerdings fn 1 n  = 1 2 fur alle ¨ n ∈ N. zu b) (i): Fur ¨ x = 1 gilt offenkundig P∞ k=0 x k (1 − x) = P∞ k=0 0 = 0. Fur ¨ x ∈ (−1, 1) ist die geometrische Reihe P∞ k=0 x k konvergent mit Reihenwert 1 1−x . Daher ist dann auch (1 − x) P∞ k=0 x k = P∞ k=0 x k (1 − x) konvergent mit Reihenwert 1. Die Funktionenreihe konvergiert folglich auf (−1, 1] punktweise gegen die unstetige Funktion f : (−1, 1] → R; x 7→ ( 1, falls x ∈ (−1, 1), 0, falls x = 1. Da jedoch die Partialsummen der Funktionenreihe stetige Funktionen (ja sogar Polynome) sind, kann die Konvergenz nicht gleichm¨aßig sein, da sonst f ja dann ebenfalls stetig sein musste. ¨ zu b) (ii): Wegen cos(kx) k 2 ≤ 1 k 2 fur alle ¨ x ∈ R erhalten wir gleichm¨aßige (und auch punktweise) Konvergenz gem¨aß dem Weierstraß’schen Majorantenkriterium.

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Kommentar von heno18
29.05.2016, 18:07

Du bist ja ein ganz lustiger

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