Frage von nonoplays1, 6

Wie kann ich rechnerisch belegen, dass nur der höchste exponent für das verhalten im unendlichen wichtig ist?

Bei ganzrationalen Funktionen ist nur der Summand mit dem höchsten Exponenten, entscheident für das Verhalten im unendlichen.... Wie kann ich das Beweisen?

Antwort
von polygamma, 2

Durch Ausklammern...

Beispiel: f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d = x^3*(a + b/x + c/x^2 + d/x^3)

Betrachte nun den Grenzwert im Unendlichen. b/x, c/x^2 und d/x^3 streben ganz offensichtlich gegen 0.

Es bleibt: x^3*a = a * x^3

Antwort
von Gastnr007, 6

du kannst es zeigen: alles = 0 ist konstant, alles darüber geht gegen unendlich gegen unendlich, löscht also das ?^0 aus, alles mit <0 geht nur gegen 0, wird also vom = oder > 0 ausgelöscht

für Vorzeichen: für den Vergleich von x^n und x^(n + r), teilst du durch x^n, was also wieder zeigt, dass die Wirkung von x^(n+r) größer ist, du hast halt deine Bahneinteilung "skaliert"

Kommentar von nonoplays1 ,

Könntest du das Ganze an einem Zahlen Beispiel erklären? :)

Kommentar von Gastnr007 ,

ich dachte du willst es allgemein (als Beweis oder Zeigen), aber nun gut:

f(x) = 5 * x^0 strebt gegen 5
g(x) = 5 * x^3 strebt gegen unendlich
h(x) = 5 * x^-1 strebt gegen 0

f+g strebt nur gegen unendlich, f+h gegen 5, g+h gegen unendlich.

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