Frage von xXKillaLPXx, 26

Wie kann ich ich extremwerte und Wendepunkte einer Cosinus Funktion mithilfe der 1. und 2. Ableitung bestimmen?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 9

gut zu wissen ist:
cos(0)=1, das wiederholt sich alle 2*PI, also cos(x)=1 für x=2*n*PI; n€Z
cos(PI)=-1, Wiederholung wieder alle 2*Pi, also für x=(2*n+1)*Pi; n€Z
cos(PI/2)=0, das wiederholt sich alle PI, also für x=(1/2+n)*PI; n€Z

Damit kannst Du für die in den Aufgaben vorgegebenen Intervalle, die entsprechenden maximalen, minimalen cos-Werte (und wann cos=0 ist) bestimmen.

Antwort
von Aneas117, 7

Moin moin,

Extremwerte liegen in der Regel vor wenn die 1 Ableitung gleich 0 ist und die zweite Ableitung 0< oder 0> ist ist sie größer 0 so liegt ein Minimum vor bei kleiner 0 ein Maximum.

Ist die zweite Ableitung an dem möglichen extremwert gleich 0 so kommt das Vorzeichen wechselkriterium zur Anwendung (man nimmt einen wert der minimal kleiner und einen der minimal größer ist setzt ihn ein und schaut ob beide werte verschiedene vorzeichen haben.

Wendepunkte liegen vor wenn die zweite Ableitung gleich 0 ist.

f(x)=cos(x)

f'(x)=-sin(x)

f''(x)=-cos(x)

f'(x)=0   -sin(x)=0  x1=2k*pi   x2=1+2k*pi

Da der Sinus Zyklisch ist besitzt er unendlich viele Nullstellen die sich mit der Perioder 2pi widerholen.

Betrachten wir den wir die Lösungen im Intervall [0   2pi] und setzen die möglichen Extremwerte in die Zweite Ableitung ein.

f''(0)=-1   f''(pi)=1

dh.

Bei 0 liegt ein Maximum vor und bei 1 ein Minimum und diese wiederholen sich mit der Periode 2pi

Für die Wendepunkte setzt man die Zweite Ableitung gleich 0 und löst sie nach x auf.

Hier erhalten wir die Lösungen 1/2pi und 2/3pi und haben hier Wendepunkte wieder im Intervall 2pi

Antwort
von MisterRobot, 14

Eine Cosinusfuntkion hat unendlich viele Wendepunkte und Extremstellen.

Eine Extremestelle kannst du mit dem Nullsetzen der Ableitungsfunktion ausrechnen. 

Die Cosinus hat alle 1 Pi  einen Extremwert, die y-Koordinate bleibt dabei immer gleich.

Damit solltest du jetzt einfach beliebig viele Punkte ausrechnen können.

Gruß

Antwort
von TheHilfeFrager, 11

Wendepunkt 1. und 2. ableitung nullsetzen

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