Frage von lara1w, 16

Wie kann ich Funktionen nach Ihrem asymptotischen Wachstum ordnen?

Hallo, ich soll folgende Funktionen nach Ihrem asymptotischen Wachstum ordnen (log ist der Zehnerlogarithmus, ln der natürliche Logarithmus)

(ln(n))^ln(n); n^3/2; (n+1)!; ln(n); n^n; log n

Ich hab mir schon ein paar Lösungswege angeschaut, bin aber jetzt immernoch nicht schlauer... Kann jemand sich erbarmen und mir eine Schritt für Schritt Anleitung mit jedem Denkschritt für ganz Blöde erstellen?

Danke im Vorraus :)

Antwort
von polygamma, 13

Was vermutest du denn, was die richtige Reihenfolge ist? Dann kann ich gerne helfen, aber ich werde nicht die Aufgabe vollständig lösen, ohne dass du dabei mitmachst.

Kommentar von lara1w ,

Die Lösung hab ich schon: log n; ln (n); n^3/2; (ln(n))^ln(n); (n+1)!; n^n

Ich weiß leider nur nicht ansatzweise wie man da vorgehen soll... Ist auch keine Hausaufgabe, nur eine Übungsaufgabe die ich nicht verstehe

Kommentar von polygamma ,

Okay, dann fangen wir doch mal ganz am Anfang an...

Die Behauptung ist: log(n) < ln(n) für n > 0.
Sei n > 0. Es gilt nach den Log-Gesetzen: log(n) = ln(n) / ln(10), wobei ln(10) > 1 gilt.
Anders geschrieben: ln(10) * log(n) = ln(n)
Daraus ergibt sich: log(n) < ln(10) * log(n) = ln(n), also log(n) < ln(n)

Nun lautet die Behauptung: ln(n) < n^(3/2) für n > 0.
Es ist bereits ln(n) < n und offenbar gilt auch n < n^(3/2), insbesondere also:
ln(n) < n^(3/2)

Nun lautet die Behauptung: n^(3/2) < (ln(n))^ln(n)

Es gilt: (ln(n))^ln(n) = n^(ln(ln(n))) zu zeigen ist also nur, dass für hinreichend große n gilt: 3/2 < ln(ln(n)), was jedoch offensichtlich ist.
Also gilt: n^(3/2) < (ln(n))^ln(n)

Schaffst du so nun den Rest?

Kommentar von lara1w ,

Ja, vielen Dank!!! :)

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