Frage von Millie2008, 58

Wie kann ich folgende Funktion auflösen: 1-e^ln(a)/2=a*e^-ln(a)/2?

Gegeben sind folgende Funktionen:

f(x) = 1 - e^x

g(x) = a * e^-x mit a > 0 (a = Parameter)

Die Kurven sollen sich berühren. Ich soll den Paramater a berechnen, für den sich die Kurven berühren, sowie den Berührpunkt.

Ich habe x mithilfe der Gleichsetzung von f(x)=g(x) als ln(a)/2=x definiert. Nun würde ich das ganze in die Stammfunktionen einsetzen und wieder gleichsetzen. Leider bekomme ich das aber nicht gelöst. Könntet ihr mir helfen ?

Antwort
von PhotonX, 32

Dein Schnittpunkt x=ln(a)/2 stimmt imho nicht. Vielleicht schreibst du kurz auf, wie du gerechnet hast, um ihn zu erhalten?

Kommentar von Millie2008 ,

also f´(x)=-e^x und g´(x)=-a*e^-x und dann habe ich das gleichgesetzt und aufgelöst also:

 -e^x=-a*e^-x       I:e^-x

-a=-e^x/e^-x        I:(-1)

a=e^x/e^-x          

a=e^2x

ln(a)=2x               I:2

x=ln(a)/2

Kommentar von PhotonX ,

Ah, verstehe! Du hast ja oben geschrieben, dass du f(x)=g(x) verwendet hast, es war aber doch f'(x)=g'(x) (also die Bedingung, dass die Graphen die gleiche Steigung haben sollen). Als nächstes kannst du f(x)=g(x) nutzen, damit die Graphen sich auch berühren.

Kommentar von Millie2008 ,

danke. Ich verstehe nicht genau wie ich1-e^ln(a)/2=a*e^-ln(a)/2 lösen kann. Ich hatte an die Regel e^lnx= x gedacht jedoch weiß ich nicht genau wie ich das umsetzen kann.

Kommentar von PhotonX ,

Genau, das ist die richtige Idee!

e^ln(a)/2 = (e^ln(a))^(1/2) = a^(1/2) = wurzel(a)

Analog auch e^-ln(a)/2

Kommentar von Millie2008 ,

das heißt: 

1-wurzel(a)=a*-wurzel(a) 

ist das richtig oder geht das anders weil es ja nicht ln(a) ist sondern -ln(a)?

Kommentar von PhotonX ,

Schreibe

e^-ln(a)/2 = (e^ln(a))^(-1/2)

Kommst du jetzt weiter?

Kommentar von Millie2008 ,

also ist die Formel dann: 

1-wurzel(a)=a*1/wurzel(a) ?

Kommentar von PhotonX ,

Genau!

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 40

bei x=(ln a)/2 haben sie die gleiche Steigung, f ' = g '

Kommentar von Millie2008 ,

Ich habe hier wohl den Hinweis aus dem Buch vergessen. Im Buch stand, dass an der Berührstelle x sowohl die Funktionswerte f=g als auch f´=g´übereinstimmen 

Kommentar von Ellejolka ,

jetzt f = g setzen

Kommentar von Millie2008 ,

genau das hatte ich auch gedacht jedoch weiß ich nicht genau wie ich 1-e^ln(a)/2=a*e^-ln(a)/2 auflösen kann 

Kommentar von Ellejolka ,

zur Kontrolle:

mE a=1/4

und Berührpunkt B(-ln2 ; ....)

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