Frage von CyrilFiggis, 64

Wie kann ich eine Differentialgleichung dieser Form lösen und was für eine Form ist das?

y'=y*((2x+1)/(x^2)+1) Ist die Form, die ich lösen möchte. Danke für eure Antworten. Auch Seiten, wo das mit den Differenzialgleichungen lösen mal Schritt für Schritt erklärt ist, sind willkommen. Danke :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rowal, 46

Nun, das ist eine Dgl mit getrennten Veränderlichen und die kann man sehr intuitiv lösen, das immer nach diesem Muster funktioniert.

dy /dx = y * ((2x+1)/(x^2)+1)    also dy / y = ((2x+1)/(x^2)+1) dx

Jetzt kann man ein Integral "drüberklatschen", also

[unbestimmes Integral]  dy / y = [unbestimmes Integral] ((2x+1)/(x^2)+1) dx

folglich

log (y) = x^4 / 2 + x^3 / 3 +x² + x +c

mit einer bel. Konstanten c, log ist der natürliche Logarithmus.  An sich gilt ja
[unbestimmes Integral]  dy / y = log |y| doch das kann man hier vernachlässigen. Man hat also

y = C * e^(x^4 / 2 + x^3 / 3 +x² + x)

mit einer anderen Konstante C.

Man kann übrigens leicht die Kontrolle machen, y nach x ableiten und sieht dann, dass y die Dgl erfüllt.

Kommentar von CyrilFiggis ,

Erst mal Danke, gut erklärt.

Da ich aber dennoch noch unsicher bin, kannst du bei deiner Lösung bitte nochmal Klammern setzen, um zu klären, was du durch was teilst?

Und kannst du auch bitte nochmal erklären, wie du vom Integrieren zu dem Schritt mit dem logarithmus kommst?

Danke

Kommentar von Rowal ,

Zunächst zur rechten Seite von

∫ dy / y = ∫ (2x+1) / (x²+1) dx

Jetzt stelle ich fest, dass ich anstelle des "/"-Zeichens  das "*"-Zeichen genommen habe. Deshalb revidiere ich gleichzeitig meine Antwort.

Es ist also eine Stammfunktion von (2x+1) / (x²+1) zu ermitteln. Um dieses zu tun spaltet man Bruch auf und erhält
2x / (x²+1) + 1 / (x²+1)
Den 2. Ausdruck kann man in der Tabelle der Grundintegrale  nachsehen und es ist
∫ dx / (x²+1) = arctan(x)
∫2x / (x²+1) dx löst man durch Substitution x² = u, also u' = 2u und erhält ∫ du /(u+1)  Dieses ist ebenfalls ein Grundintegral (jedenfalls fast, die Konstante 1 bleibt erhalten) und es ist
∫ du /(u+1) = ln(|u+1|), wobei ich den Natürlichen Logarithmus hier mit ln schreibe. Setzt man wieder x ein, erhält man
∫2x / (x²+1) dx = ln(x²+1) .

Damit hat man
∫ (2x+1) / (x²+1) dx = ln(x²+1) + arctan(x)

Auf der linken Seite ist das Integral ebenfalls ein Grundintegral. Es ist
∫ dy / y = ln(|y|)
wie man am einfachsten in der Tabelle nachschaut. Es ist eine der wichtigsten Eigenschaften des Natürlichen Logarithmus, dass die Ableitung gleich 1/x ist, das heißt, dass das Wachstum stark abnimmt, wenn x wächst (hier positiv vorausgesetzt).
Wenn man also noch die Integrationskonstante berücksichtigt (Man kann ja zu einer Stammfunktion noch eine beliebige Konstante hinzuaddieren, denn die Ableitung einer Funktion bleibt gleich wenn man eine Konstante addiert), erhält man
ln(|y|) =  ln(x²+1) + arctan(x) +c
folglich
|y| = e^( ln(x²+1) + arctan(x) +c )
oder nach den Potenzgesetzen
|y| = e^c * e^(ln(x²+1)) * e^(arctan(x))

folglich
y = C * (x² + 1) * e^(arctan(x))

mit einer bel. reellen Konstante C.

Die Lösung kann man leicht nachprüfen, denn es ist

y' = c ( 2x * e^(arctan(x)) + (x² + 1) * e^(arctan(x)) / (x² + 1)
    = c * e^(arctan(x)) * ( 2x + 1)

nach der Produktregel und das ist dasselbe wie die rechte Seite der Dgl
C * (x² + 1) * e^(arctan(x)) * (2x+1) / (x²+1)

Man muss zur Lösung von Differentialgleichungen ein wenig fit sein im Integrieren

Kommentar von Rowal ,

anstelle von u' = 2u muss es heißen: u' = 2x

Kommentar von CyrilFiggis ,

Wow vielen Dank, ich hätte nie gewusst wie ich das hinbekommen soll.

Eine Sache noch, wo bekommt man denn eine vollständige Tabelle der Grundintegrale? einfach googlen?

Kommentar von Rowal ,

z.B. http://www.math.tu-dresden.de/~feldm/mathe2/grundintegrale.pdf
Das sollte auch in jeder guten Formelsammlung zu finden sein. Da findet man oftmals zusätzlich eine weitaus längere Sammlung von Integralen, die aus den Grundintegralen durch die Methoden der Substitution und partiellen Integration gewonnen werden.

Vielen Dank für den Stern!

Antwort
von Melvissimo, 38

Das ist eine lineare DGL. Sei nämlich f(x) := (2x + 1) / (x² + 1), dann gilt:

y'(x) = y(x) * f(x). Sie hat die Lösung

y(x) = c * e^(F(x)), wenn F eine Stammfunktion von f und c eine beliebige Konstante ist.

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