Frage von einfachsoe, 21

Wie kann ich dieses Residuum berechnen?

Hallo,

Ich habe eine Frage zu der Berechnung von Residuen von Funktionen mit iso. Singularitäten. Ich habe an sich keine Probleme, da es einige Formeln dazu. Bloß habe ich noch eine Frage.

Als Beispiel: sin(x)/x^2

Für x=0 gibt es eine einfache NS im Zähler und eine doppelte NS im Nenner. Für eine solche Funktion kann man aber keine der Formeln (siehe Wiki) anwenden.

Darf man in dem Fall die eine NS kürzen um mit 1/x das Residuum zu berechnen. Das würde Res(1/x)=1 ergeben, was auch dem Wert entspricht der bei wolframalpha für sin(x)/x^2 herauskommt

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 19

Tip: Deine Funktion hat eine Taylorreihenentwicklung.

f(z) = 1/z - z/6 + z³/120 + .. + z^(2(k-1))/(2k)! + ...

Jetzt das ganze in die Integralformel einsetzen und du siehst, dass das Integral um z = 0 aller positiven Potenzen verschwindet, und du bekommst, dass das Residuum in z = 0 das selbe Residuum wie das von 1/z sein muss, nämlich 1.

LG

Kommentar von Roach5 ,

Kleine Korrektur: Die Summanden in der Reihenentwicklung sind von der Form (-1)^k z^(2k - 1)/(2k+1)!, nicht wie es oben steht. Tut mir leid!

Antwort
von iokii, 21

Darf man, aber sin(x)/x ist nicht 1.

Kommentar von iokii ,

Das Residuum kann man in diesem Fall leicht berechnen, wenn man sich die Laurent-Entwicklung von sin(x)/x^2 anschaut, das ist nämlich einfach die Potenzreihenentwicklung vom sinus in verschoben, den -1-ten Koeffizienten zu finden ist also nicht all zu schwer.

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