Frage von Yorshington, 24

Wie kann ich diese Physik-Aufgabe lösen?

''Die Aufgabe lautet in etwa so. Ein Eisscholle mit einer Fläche von 15m^2 und einer Dicke von 40 cm schwimmt im Wasser. Wie hoch ragt die Eisscholle aus dem Wasser?'' Dann sind noch die Dichten von Eis und Wasser gegeben. Ich geh mal davon aus, dass die Aufgabe etwas mit dem Auftrieb zu tun, jedoch habe ich damit noch nie gerechnet. Wie muss ich vorgehen?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik & Physik, 4

Archimedisches Prinzip: Die Auftriebskraft ist ebenso groß wie die Gewichtskraft des verdrängten Fluids (Fluid = Flüssigkeit oder Gas)

Ein Teil der Eisscholle ist über Wasser, ein Teil unter Wasser. (Die Dichte von Eis ist ja kleiner als die von Wasser.)

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Betrachten wir erst mal die beiden Extremfälle:

Um die Eisscholle komplett über dem Wasser festzuhalten, brauchen wir zum Festhalten die Gewichtskraft der Eisscholle (sollte offensichtlich sein). Da sie nicht in das Wasser eintaucht, verdrängt sie auch kein Wasser und erfährt deshalb keine Auftriebskraft.

Um die Eisscholle ganz unter Wasser zu drücken, brauchen wir eine bestimmte Kraft. Nach oben wirkt die Auftriebskraft, nach unten die Gewichtskraft und die Kraft, mit der wir die Scholle festhalten. Die Kräfte müssen sich gegenseitig aufheben, damit die Scholle dort bleibt. D. h. F_Auftrieb = F_Gewicht + F_Halte

Damit ist die Haltekraft F_Halte = F_Auftrieb - F_Gewicht

Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Wassers. Die Scholle verdrängt komplett eingetaucht ihr eigenes Volumen an Wasser.

Also: V_Wasser,verdrängt = V_Eis

Damit ist die Masse des verdrängten Wassers

m_Wasser,verdrängt = V_Wasser,verdrängt * ρ_Wasser

  = V_Eis * ρ_Wasser

Und die Gewichtskraft dieses Wassers

F_Gewicht,Wasser,verdrängt = m_Wasser,verdrängt * g

(g ist die Erdbeschleunigung)

Mit Obigem

F_Gewicht,Wasser,verdrängt = V_Eis * ρ_Wasser * g

Nach Archimedes ist nun

F_Auftrieb = F_Gewicht,Wasser,verdrängt = V_Eis * ρ_Wasser * g

Also F_Halte = V_Eis * ρ_Wasser * g - F_Gewicht,Eis

Wie oben ist

F_Gewicht,Eis = V_Eis * ρ_Eis * g

Also F_Halte = V_Eis * ρ_Wasser * g - V_Eis * ρ_Eis * g

Wir können V_Eis und g ausklammern:

F_Halte = V_Eis * g * (ρ_Wasser -ρ_Eis)

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Jetzt nehmen wir an, die Scholle taucht zu einem Bruchteil (Prozentsatz) x ihres Volumens ins Wasser ein (0 <= x <= 1, bzw. 0% <= x <= 100%).

Damit ist das verdrängte Wasservolumen   V_verdrängt = x * V_Eis

Wie oben ist die Auftriebskraft  F_Auftrieb = F_Gewicht,Wasser,verdrängt 

und   F_Gewicht,Wasser,verdrängt = m_Wasser,verdrängt * g

und m_Wasser,verdrängt = V_Wasser,verdrängt * ρ_Wasser

und damit natürlich  F_Auftrieb = V_Wasser,verdrängt * ρ_Wasser * g

Mit V_Wasser,verdrängt = x * V_Eis ergibt sich:

F_Auftrieb = x * V_Eis * ρ_Wasser * g

Nach wie vor wirkt auf das Eis die Gewichtskraft  F_Gewicht,Eis = V_Eis * ρ_Eis * g

Die Haltekraft (nach unten - negatives Vorzeichen bedeutet, dass wir das Eis unterstützen müssen) ist damit

F_Halte = F_Auftrieb - F_Gewicht,Eis

    = x * V_Eis * ρ_Wasser * g - V_Eis * ρ_Eis * g

Wieder können wir V_Eis und g ausklammern:

F_Halte = V_Eis * g * (x * ρ_Wasser - ρ_Eis)

Wenn wir die Scholle in Ruhe lassen, ist F_Halte = 0.

Das kann man nach x auflösen.

x ist der Volumenanteil des Eises, das sich unter Wasser befindet. y = 1-x ist der Volumenanteil, der sich über Wasser befindet.

Diesen Volumenanteil musst du noch in einen Höhenanteil umrechnen und diesen in eine absolute Höhe (die Dicke der Scholle ist ja gegeben).

(Zusatzfrage: Welche Rolle spielt die Fläche der Scholle?)

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