Wie kann ich diese Gleichungssystem loessen (Substitution), Ich verstehe es nicht x^2+y^2=25, x^2+y=19?

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3 Antworten

Ist ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Kannst dir so vorstellen dass du beide hinmalst und die X/Y Koordinate wo sie sich schneiden sind die zwei gesuchten Werte. Guckstu hier:


http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2By^2%3D25+x^2%2By%3D19
achtung link wird von gutefrage kaputtgemacht

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wir stellen um :
x^2+y=19  -> x^2=19-y   (I)

Das ersetzt in der ersten Gleichung nun x^2 durch diesen Ausdruck (daher auch das Wort Substitution=ersetzen):
x^2+y^2=25
-> (19-y)+y^2=25 -> y^2-y=25-19=6

bzw. y^2-y-6 =0

An der Stelle ist der Teil mit dem Substuieren rum.

Dies ist nun ein Polynom, dass du wie üblich lösen kannst.

An der Potenz 2 siehst du dass es 2 Lösungen geben kann.

Durch reine Rechnerei kommst du nun nicht weiter, du musst schlicht eine Lösung erraten:
y=3 (denn 3^2-3-6=9-3-6=6-6=0)

Nun zur 2. Lösung:
Entweder errätst du diese ebenso.

Oder der formale Weg geht über Polynom Division.
Wenn K diese zweite Lösung ist, dann muss
(y-K)*(y-3)=0=y^2-y-6 sein.

Dies kann man nach (y-k) auflösen:
(y^2-y-6)/(y-3)=(y-k)

Den linken Teil kannst du nun durch schriftliche Division lösen (nur dass dein Divisor eben nicht nur eine zahl sondern der Ausdruck (y-3) ist).

jedenfalls kommst du durch Erraten oder Polynomdivision zu den Lösungen:
y=3 und y=K (anstelle von K steht hier dein berechnetes Ergebnis)

Da es nun ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten ist (x und y),

musst du nun noch x bestimmen.

Dazu setzt du die 2 Lösungen für y einfach in die Gleichung (I) (siehe ganz am Anfang) ein und erhälst insgesamt 4 Lösungen für x (Die vielen Lösungen kommen von den Quadraten her, nicht vergessen dass es +-sqr ist, also 2 Ergebnisse.)

Von daher hast du 2 x Werte und 4 y Werte, die das Gleichungssystem lösen.

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I.) x ^ 2 + y ^ 2 = 25

II.) x ^ 2 + y = 19

I.) und II.) nach x ^ 2 umstellen -->

I.) x ^ 2 = 25 - y ^ 2

II.) x ^ 2 = 19 - y

I.) und II.) gleichsetzen -->

25 - y ^ 2 = 19 - y

Das bringt du auf eine Form mit der du die pq-Formel anwenden kannst (googeln !!)

y ^ 2 - y - 6 = 0

y _ 1 = -2

y _ 2 = 3

Nun y _ 1 und y _ 2 am besten in II.) einsetzen -->

II.) x ^ 2 = 19 - y

II.) x = ∓ √(19 - y)

Mit y _ 1 erhältst du -->

x _ 1 = - √(19 - (-2)) = - √(21)

x _ 2 = + √(19 - (-2)) = +√(21)

Mit y _ 2 erhältst du -->

x _ 3 = - √(19 - 3) = -√(16) = -4

x _ 4 = + √(19 - 3) = +√(16) = +4

Zusammenfassung der Lösungen -->

x  = -√(21) und y  = -2

oder

x = +√(21) und y = -2

oder

x = -4 und y = 3

oder

x = +4 und y = 3

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