Frage von Modeherz, 90

Wie kann ich diese Aufgabe lösen (binomische Formel)?

Ich habe die Aufgabe von einer anderen Arbeit gefunden und wollte sie für mein Nachhilfekind vorbereiten, jetzt stoße ih aber selbst an meine Grenzen...:

(49s² - ? )² = ? - 21sz + ?

Dort, wo ein Fragezeichen steht müssen Zahlen bzw. Zahlen mit Buchstaben eingesetzt werden. Zuerst müsste nach der 2. binom. Formel ja vor der "-21sz" das, also: (49s²)² stehen = 2401s^4

Aber was ist mit dem Rest, kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 35

Ich glaube, da ist etwas durcheinander geraten. Müsste die 49s² nicht hinter dem Gleichheitszeichen stehen?

allg.: (a-b)²=a²-2ab+b²

d. h., dann ist 21sz=2ab, da aber a=49s² sein soll hättest Du als "Zwischenstand" 21sz=2*49s²*b, dann müsste b=21sz/(98s²)=3s/(14z) sein, also:

(49s²-3s/(14z))²=2401s^4-21sz+...

Ich denke, es muss "( ? - ? )² = 49s²-21sz+ ? " heißen...

(meine nur, weils für die 8. Klasse sein soll!)

Kommentar von Modeherz ,

okay danke, das hab ich ähnlich gesehen. Anders konnte ich es mir auch nicht erklären. Oder das hoch 2 bei der 49 war einfach ausversehen da... denn ich habe es genau von der Klassenarbeit abgeschrieben

Kommentar von Rhenane ,

Kann natürlich sein, selbst mit 49s hätte man es mit nem "hässlichen" Bruch zu tun, aber die Vorgehensweise ist ja jetzt bekannt:

Das "bekannte mittlere Glied" mit 2ab gleichsetzen, den bekannten Wert aus der quadr. Klammer einsetzen und nach der verbliebenen Unbekannten umformen, und Du hast den 2. Wert aus der Klammer.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe, 20

Das geht folgendermaßen:

(49s² - ?)² = ? - 21sz + ?

Es gilt die zweite binomische Formel:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Offensichtlich haben die Fragezeichen nicht denselben Wert, dementsprechend sollten sie durch unterschiedliche Variablen ersetzt werden:

(49s² - x)² = y - 21sz + k

Der mittlere Teil stellt das doppelte Produkt aus dem Minuenden und dem Subtrahenden in der Klammer dar.

Dementsprechend gilt:

21sz = 2*49s²*x
x = (21sz)/(98xs²) = (21z)/(98xs)

Also:

(49s² - (21z)/(98xs))² = y - 21sz + k

Da der erste Faktor das Quadrat des Minuenden der Differenz in der Klammer ist, kann y ersetzt werden:

(49s² - (21z)/(98xs))² = (49s²)² - 21sz + k

Der letzte Faktor ist der Subtrahend der Differenz in der Klammern und somit kann auch k ersetzt werden:

(49s² - (21z)/(98xs))² = (49s²)² - 21sz + ((21z)/(98xs))²

Vereinfachen:

(49s² - (21z)/(98xs))² = 2401s⁴ - 21sz + (441z)/(9604x²s²)

Die Formel scheint mir etwas zu kompliziert, als dass sie in einer Aufgabe als Lösung gesucht wird, aber das wäre mein Lösungsweg und meine Lösung.
(Fehlerfinder bekommen ein Like ^^)

Bedenke, dass es bei dieser Aufgabe mehrere Lösungen geben kann, da die Fragezeichen untereinander nicht äquivalent sind.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 12

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

Hier baut man sich dann ein LG mit 2 Unbekannten.

a      = 7s               das ist ganz klar, und dann noch
2ab  = - 21sz

Ich dividiere a aus dem Term heraus: es bleibt -3z
Das muss ich noch halbieren: b = -1,5z

Damit haben wir:
(7s - 1,5z)² = 49s² - 21sz + 2,25z²

Ich muss sagen, dies Ergebnis finde ich viel hübscher als die richtige Aufgabe. Sicher, dass sie richtig abgeschrieben wurde?

Denn mit derselben Technik gibt es:

(49s² - 3z/(14s))² = 2401s² - 21sz + 9z²/(196s²)

Wichtig ist, dass das Mittelglied durch a und dann nochmal durch 2 dividiert wird, um b zu erhalten.

---

... und dass ich mich jetzt nicht irgendwo vertippt habe beim Übertragen der Zahlen aus dem Rechner.

Kommentar von Volens ,

In der Ergebniszeile heißt es nicht 2401s², sondern

2401 s

Das war schon mal ein Tippfehler.

Für dein Nachhilfekind empfehle ich meine erste Aufgabe!

Antwort
von varlog, 29

Wie errechnet sich denn die Stelle am ersten Fragezeichen (also in der Klammer)? Nennen wir die Stelle k.

Wir wissen nach der binomischen Formel (a-b)²=a²-2ab+b:

2ab ist hier 21sz oder eben 2*49s²*k, also ist

21sz = 2*k*49*s²

wenn man das nach k umstellt erhält man

k=21sz/(2*49*s²)=3z/(14*s)   s≠0

Naja und das letzte Fragezeichen ist dementsprechend k²

Antwort
von Melvissimo, 22

Die zweite Binomische Formel lautet:

(a-b)² = a² - 2ab + b².

Nun ist a = 49s², also:

(49s² - b)² = (49s²)² - 2 * 49s² * b + b²

Nun wissen, wir, dass 2*49s² * b = 21sz sein soll. Das können wir nach b auflösen:

b = 21sz / (2 * 49 s²) = 3z / (14s).

Damit lautet die vollständige Gleichung:

(49s² - 3z/(14s))² = 2401s^4 - 21sz + 9z²/(196s²)

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