Frage von JulianHolzer, 32

Wie kann ich die Wurzel aus einer negativen Zahl ausrechnen?

Die Angabe lautet:

Xg= (vierte Wurzel aus) 1,004 × (-1,003) × 1,014 × 1,027

Bitte an die Mathegenies unter euch! Löst Bitte die Aufgabe und sagt mit wie sie gerechnet wird.

Danke im Voraus;)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 13

Das ist nur dann leicht zu erklären, wenn du schon komplexe Zahlen kennst. Ich probier's mal, ohne die komplexen Zahlen vorauszusetzen. Etwas Geometrie ist aber notwendig.

(Die komplexen Zahlen hat man eingeführt, um Wurzeln aus negativen Zahlen verarbeiten zu können.)

Der entscheidende Punkt ist, dass man die Zahlen nicht mehr (wie die reellen Zahlen) auf einer Zahlengeraden darstellt, sondern auf einer Zahlenebene (Gaußsche Zahlenebene).

Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Punkt auf dieser Ebene und umgekehrt.

Die Addition von komplexen Zahlen entspricht der Addition der Ortsvektoren der zugehörigen Punkte.

Bei der Multiplikation multipliziert man die Beträge (die Längen der Ortsvektoren) und addiert die Winkel, die die Ortsvektoren mit der positiven reellen Halbachse bilden. (Diesen Winkel nennt man das "Argument" der komplexen Zahl.)

Entsprechend wird beim Potenzieren der Winkel mit dem Exponenten multipliziert. (Und anschließend auf einen Wert zwischen 0 und 2π bzw. 0° und 360° reduziert.)

Beim Quadratwurzelziehen nimmt man entsprechend die Hälfte dieses Winkels. Das ist die "Hauptlösung". Es gibt zwei Lösungen von x² = a, das spiegelt sich darin wider, dass man die Hauptlösung um π (bzw. 180°) dreht.

Bei höheren Wurzeln nimmt man den entsprechenden Bruchteil. Also bei der 3. Wurzel 1/3 des Winkels, bei der 4. Wurzel 1/4 des Winkels etc.

Hinzu kommen die Lösungen, die sich durch Drehen der Hauptlösung um 2π/3 (360°/3) und 2*2π/3 (2*360°/3) ergeben, bzw. durch Drehen um 2π/4, 2*2π/4 und 3*2π/4 usw.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 21

Du kannst meistens das - aus der Wurzel heraus ziehen:

√ -a = √( (-1)*a ) = √ -1 * √ a

√ -1 = i, da i² = -1

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