Frage von StudentHN, 43

Wie kann ich die Summe der folgenden Aufgabe berechnen?

Hallo liebes Forum,

ich habe folgende Aufgabe gegeben und Frage imich, wie ich die Summen der Aufgabe berechnen kann, weil die Obergrenze ins unendliche verläuft.

Komme gar nicht mehr weiter, trotz dass ich die videos angeschaut habe.

kann jemand helfen?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 18

Du kannst den Bruch anderes schreiben. 5^(n+2)=5^n * 5²
Dann kannst Du 4^n/(5^n*25) zusammenfassen zu 1/25 * (4/5)^n.
Die Summe von n=0 bis unendlich für q^n und q<1 sollte bekannt sein.
In die "Formel" q=4/5 einsetzen, die Werte für n=0 und n=1 noch abziehen (es soll ja bei n=2 losgehen) und fertig.

Kommentar von StudentHN ,

jetzt hab ich es veratnden. das mit "anders schreiben" habe ich oft vergessen und blick es oft gar nicht. gibt es dafür eine regel, wie zum  beispiel bei dieser aufgabe, damit ich weiß, wie ich das umformen und "anders schreiben" kann.

Kommentar von Rhenane ,

Man muss ja auf bekannte Muster kommen, um die bekannten Formeln anwenden zu können, wie z. B. bei quadr. Gleichungen. Da musst Du auch z. B. 3x²-2x+7=0 noch etwas umformen, um die pq-Formel nutzen zu können.

So ist das hier auch.

Hier ist das "Muster": Summe von a * q^n=a/(1-q) für n=0 bis unendlich; also musst Du schauen, wie Du aus mehreren Potenzen auf die eine Potenz q^n (mit konstantem Faktor) kommst. Dann nur noch die geänderten "Randbedingungen" beachten, wie hier n=2 bis unendlich statt n=0 bis unendlich.

Kommentar von StudentHN ,

Okay das habe ich erstmal alles drauf. So schau mal meine Rechnung an. Ich benutze die Formel 1/(1-q)

1/(1-4/5) = 5

Aber wie ziehe ich für n=0 und für n=1 die werte ab. welche formel nutze ich da genau. und ist meine obige rechnung korrekt?

Kommentar von Rhenane ,

Dein Ergebnis (5) ist die Summe von (4/5)^n für n=0 bis unendlich. Du musst aber die Summe von 1/25 * (4/5)^n haben.

Und um an die Summanden für n=0 und n=1 zu kommen, setzt Du einfach diese Werte in 1/25 * (4/5)^n ein und ziehst das dann noch ab.

Die 1/25 kannst Du von vornherein ausklammern, also:
1/25 * (5-(4/5)^0-(4/5)^1) = 1/25 * (5-1-4/5) = 1/25 * 16/5 = 16/125

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