Frage von lukasstmhltr, 31

Wie kann ich die allgemeine Lösung eines Differentialgleichungssystems (Dreieckstyp) bestimmen?

Hallo,

Ich löse gerade Übungsaufgaben zu gekoppelten Differentialgleichungen und verstehe das Thema bis jetzt eigentlich gut (bin allerdings erst frisch eingestiegen). Nun stosse ich allerdings bei einer Aufgabe auf Probleme, bei der die allgemeine Lösung dieses Differentialgleichungssystems bestimmt werden soll:

x1'(t) = λx1(t) + 3x2(t) - 2x3(t) 

x2'(t) = λx2(t) - 5x3(t) 

x3'(t) = λx3(t)

wobei λ ∈ R vorgegeben ist.

Ich habe mit dem Lösen ganz normal begonnen und wollte als erstes die Eigenwerte bestimmen. Dazu habe ich wie immer z.B. die erste Zeile λx1 + 3x2(t) - 2x3(t) = wx gesetzt, die Gleichungen aufgelöst und als Matrix dargestellt. Beim bestimmen der Determinanten kommt dann allerdings λ^3 - 3λ^2 - 3λw + w^3 heraus und ich weiss nicht, wie ich da die Eigenwerte (w) herausfinden soll, wenn ja λ nicht konkret bestimmt ist...

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen?

ich bedanke mich bereits herzlich im Voraus!

Antwort
von Australia23, 13

Hallo, du hast eine obere Dreiecksmatrix gegeben, bei Dreiecksmatrizen entsprechen die Eigenwerte immer den Hauptdiagonalelementen. In deinem Fall hast du als Eigenwert also drei mal λ.

Du kannst es aber auch selbst herleiten, indem du die Nullstellen des "charakteristischen Polynoms" suchst:

p=det(A-λEn), A: Matrix, λ: Eigenwert, En: Einheitsmatrix (n-dimensional)

In deinem Fall kommst du dann auf: p=(λ-w)(λ-w)(λ-w)

Falls was noch nicht klar ist, bitte nachfragen :) Du machst es oben glaube nicht mithilfe des charakteristischen Polynoms...?

Kommentar von lukasstmhltr ,

Vielen Dank für deine Antwort!

Ich habe es schon mit dem charakteristischen Polynom gemacht, ausmultipliziert gibt das ja dann λ^3 - 3λ^2w + 3λw^2 - w^3. Somit ist die erste Nullstelle ja w = -λ. Wenn ich dann mit Polynomdivision weitermache und das ganze in die Mitternachtsformel einsetze komme ich allerdings auf w2/3 = 2λ +/- λ*(√5/(-2)).

Wenn ich das dann wiederum verwenden möchte um die Eigenvektoren zu bestimmen wird das ganze etwas arg kompliziert, weswegen ich davon ausging einen Fehler gemacht zu haben... 

Kommentar von Australia23 ,

Also dein Ziel ist ja die Nullstellen des charakteristischen Polynoms zu bestimmen, das kannst du viel einfacher machen, wenn du das Polynom als p=(λ-w)(λ-w)(λ-w) gegeben hast:

Die Nullstellen des Polynoms sind die Lösungen für:
(λ-w)(λ-w)(λ-w)=0

Da du hier nur Produkte hast, ist die Lösung 0, sobald der Term einer Klammer 0 ergibt, also wenn λ-w=0. Demnach ist w=λ.

Vielleicht ist es in einem Zahlenbeispiel einfach zu sehen:

Was wären die Nullstellen des Polynoms p=(x-1)(x-2)(x-3)?
Lösung: x=1 oder x=2 oder x=3
- für x=1: (1-1)(1-2)(1-3)=0*(-1)*(-2)=0
- ...

Bei dem Polynom p=(λ-w)(λ-w)(λ-w) hast du einfach eine dreifache Nullstelle.

Durch das ausmultipizieren machst du es dir also viel schwieriger.

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