Frage von StudentHN, 55

Wie kann ich die Ableitung der e-Funktion erstellen?

Hallo,

ich vereinfache zuerst:

f(x)=x^(1/(3x-1)

f´(x)=e^(ln(1/(3x-1)) .....

Hier komme ich nicht mehr weiter.

Das habe ich zwar vereinfacht, komme aber nicht weiter, da ich hier nicht genau weiß, welche Regeln ich anwenden muss.

Kann mir da jemand helfen?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von surbahar53, 37

f(x) = x ^ ( 1/(3x-1))

wegen x = e ^ ln(x)

f(x) = e ^ [ ln(x) / (3x-1) ]

Verkettung :

g(x) = ln(x) / (3x-1)

h(x) = e^x

f(x) = h ( g(x) )
f'(x) = h'( g(x) ) * g'(x)

h'(x) = e^x, also h'( g(x) ) = e ^ [ ln(x) / (3x-1) ]
g'(x) mit Quotientenregel bestimmen.

Kommentar von surbahar53 ,

Welches kranke Hirn hat sich diese Aufgabe ausgedacht ?

Antwort
von uncledolan, 9

Du musst die Ableitung der Funktion "(3x -1)-ste Wurzel von x" bestimmen.

Die (....)-te Wurzel von x kannst du stets schreiben als x^(1/(...)), wie du es schon richtig gemacht hast.

f(x) = x^(1/(3x - 1)) ---> u(x) = x ----> v(x) = (1/(3x - 1))

Verallgemeinterte Potenzregel zu (Funktion mit x) hoch (Funktion mit x):

---> [u(x)^v(x)] ' = (u(x)^v(x)) * [ln(u(x)) * v(x)] '

Also:

f'(x) = x^(1/(3x - 1)) * [ln(x) * (1/(3x - 1))] ' ---> das noch Abzuleitende zu einem Bruch verkürzen

f'(x) = x^(1/(3x - 1)) * [(ln(x))/(3x - 1)] '

---> jetzt muss [ln(x)/(3x - 1)] abgeleitet werden

---> u(x) = ln(x) ---> u'(x) = 1/x

---> v(x) = (3x - 1) ---> v'(x) = 3

---> v(x)² = (3x - 1)²

---> Quotientenregel: u(x) / v(x) = (u'(x) * v(x) - v'(x) * u(x))/(v(x)²)

Also:

[ln(x)/(3x - 1)] ' = [((1/x)*(3x - 1)) - (3*ln(x))] / ((3x - 1)²)

[ln(x)/(3x - 1)] ' = [((3x -1)/x) - 3*ln(x)] / ((3x - 1)²)

Das jetzt in f'(x) einfügen:

f'(x) = x^(1/(3x - 1)) * [((3x -1)/x) - 3*ln(x)] / ((3x - 1)²)

f'(x) = { (x^(1/(3x - 1)) * [((3x -1)/x) - 3*ln(x)] } / ((3x - 1)²)

http://www.ableitungsrechner.net/#expr=x%5E%281%2F%283x%20-%201%29%29

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