Frage von Himbeersauce, 16

Wie kann ich beweisen, dass bei Funktionen 3. Grades der Wert, der beim Berechnen der Extrema in der pq-F. vor der Wurzel steht, die Wendestelle angibt?

Es geht um Funktionen 3. Grades. Ich habe schon die Ableitungen gebildet:

f (x) = ax^3 + bx^2 + cx + d f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c f''(x) = 6ax + 2b f'''(x) = 6a

Nun möchte mein Lehrer, dass ich ihm den Beweis bzw. die Herleitung liefere, dass der Wert, der beim Anwenden der pq-formel um die Extrema zu berechnen (mit f'(x) = 0) VOR der Wurzel steht, gleichzeitig auch immer die Wendestelle angibt (sofern es sich um Funktionen 3. Grades handelt)

Beim Berechnen der Extrema bin ich soweit, dass ich die pq-formel angewendet habe.

f'(x) = 0 3ax^2 + 2bx + c = 0 || : 3a x^2 + 2b/3a x + c/3a = 0 Dann die PQ-Formel: x1/2 = - b/3a +/- wurzel [(b/3a)^2 - c/3a]

Und die Wendestelle habe ich auch schon berechnet: f''(x) = 0 6ax + 2b = 0 || - 2b 6ax = - 2b || :6a x = -b/3a

Dadurch sehe ich zwar, dass der Wert der Wendestelle derselbe ist wie der, der in der PQ-Formel vor der Wurzel steht, allerdings weiß ich nicht mit welcher Formel oder mit welcher Erklärung ich dies beweisen bzw. erklären kann.

Als Hinweis hat mir mein Lehrer die Formel (x1 - x2) / 2 = - b/3a gegeben. Allerdings kann ich damit nicht besonders viel anfangen. Ich kann es so akzeptieren aber ich muss es ja nachvollziehen können und auch erklären können.

Kann mir jemand von euch eventuell helfen? Ich habe schon versucht das zu googlen allerdings habe ich nichts dazu gefunden.

Antwort
von regex9, 13

Versuche es dir doch einmal bildlich bewusst zu machen. Zeichne den Graphen mit all seinen Extrema und Wendepunkten. Dann machst du dir die vom Lehrer gegebene Gleichung bildlich deutlich. 

Kommentar von Borgler94 ,

ist aber leider kein beweis

Kommentar von regex9 ,

Es geht vorerst nur darum, dass er die vom Lehrer gegebene Gleichung versteht. Dann kann er nämlich erklären und beweisen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 11

also, da du allgemein anhand einer Funktion 3. Grades gezeigt hast, dass -b/(3a) sowohl vor der Wurzel bei der pq-Formel als auch an der Wendestelle rauskommt, bist du mE fertig mit der Aufgabe.

Das ist ja die Herleitung.

Kommentar von Himbeersauce ,

Ja das stimmt, aber ich muss das Montag dem Kurs erklären können und weiß nicht genau wieso das immer so ist

Kommentar von Ellejolka ,

wenn du das so Schritt für Schritt herleitest, hast du es gezeigt;

warum das so ist, wird von dir sicher nicht verlangt.

Kommentar von Himbeersauce ,

Okay, danke

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