Frage von lol07, 78

Wie kann ich bei einer quadratischen Funktion die Nullstellen berechnen?

Hallo alle zusammen, ich muss bei einer quadratischen Funktion die Nullstellen berechnen, aber weiß nicht wie. Kann mir einer helfen? Kann mir auch einer sagen, wie ich aus der allgemeinen Form heraus beurteilen kann, wie viele Nullstellen vorhanden sind?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von rofl07, 35

Hallo lol07,

du kannst die Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnest du, indem du zuerst die Funktionsgleichung in der allgemeinen Form (y=ax²+bx+c) nullsetzt. (Eine quadratische Funktion in der Normalform y=x²+px+q kannst du erstmal genauso behandeln!!).

Anschließend erhälst du, wenn du eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form (y=ax²+bx+c) hattest, eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form (0=ax²+bx+c), wenn du eine Funktionsgleichung in der Normalform hattest (y=x²+px+q), so erhälst du die quadratische Gleichung in der Normalform (0=x²+px+q).

Vorgehen bei einer quadratischen Gleichung in der allgemeinen Form: Du musst die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form (0=ax²+bx+c) in die Normalform (0=x²+px+q) bringen. Das machst du, indem du die gesamte Gleichung durch den Parameter a dividierst, also dem Koeffizienten vor x². Dann erhälst du die quadratische Gleichung in der Normalform (0=x²+px+q), an der du die p-q-Formel (x1/2=-(p/2)+/-√((p/2)²-q)) anwenden kannst.

Vorgehen bei einer quadratischen Gleichung in der Normalform (0=x²+px+q): Wie ich schon oben beschrieben habe, musst du jeweils p und q in die p-q-Formel (x1/2=-(p/2)+/-√((p/2)²-q)) einsetzen. Dann erhält man durch Berechungen die Nullstellen.

Kommen wir auf die Frage mit der Anzahl der Nullstellen zu sprechen. Von der allgemeinen Form (y=ax²+bx+c) wirst du die Anzahl der Nullstellen nicht einfach ablesen können, da du diese Funktionsgleichung von der allgemeinen Form (y=ax²+bx+c) in die allgemeine Scheitelpunktform (y=a(x+d)²+e) umformen musst, indem du zuallererst a ausklammerst.

Du setzt a vor die Klammer und x kannst du schon in die Klammer schreiben. Dann musst du b durch das doppelte von a rechnen, dann erhälst du d. Wenn du dann das Quadrat von d von c subtrahierst, erhälst du e.

An dem Parameter e kannst du erkennen, wie viele Nullstellen diese Funktion hat.

Betrachten wir den Fall, dass a positiv ist: Wenn a positiv ist und e positiv ist, besitzt diese Parabel dieser quadratischen Funktion keine Nullstelle. Wenn e null beträgt, ist eine Nullstelle vorhanden, wenn e bei positivem Parameter a aber negativ ist, gibt es zwei Nullstellen.

Fall 2: Der Parameter a ist negativ. Sollte der Parameter a negativ sein und e positiv sein, so hat diese Parabel dieser quadratischen Funktion zwei Nullstellen. Bei negativem Parameter a und e=0 sind eine Nullstelle vorhanden und bei negativem Parameter a und negativem Parameter e besitzt diese Parabel dieser quadratischen Funktion keine Nullstelle. Gruß rofl07

Kommentar von lol07 ,

Wenn man die reellen Zahlen nur betrachtet ist dies verständlich...

Antwort
von FataMorgana2010, 31

Es gibt verschiedene Methoden, das zu tun. Erstmal gibt es die einfachen Fälle

x² + a = 0 -> da ziehst du a ab und ziehst die Wurzel. Ist a postiv, dann musst du ja aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen, also keine Lösung. Sonst gibt es zwei Lösungen. 

x² + ax = 0 -> da klammerst du x aus und kannst mit dem Satz vom Nullprodukt gleich sehen, dass die Lösungen 0 und -a sind. 

Der interessantere Fall ist

x² + px + q = 0 -> Dafür gibt es zum einen die sogenannte pq-Formel, die kann man auswendig lernen und dann entsprechend anwenden. Oder man löst das "per Hand" mit quadratischer Ergänzung. Oder man schaut die Gleichung scharf an und löst mit dem Satz von Vieta durch Hinsehen. Oder die Gleichung ist so gestrickt, dass man eine binomische Formel anwenden kann und man nur noch die Wurzel ziehen muss. 

Im letzten Fall erkennt man z. B. bei der pq-Formel sehr schnell, wie viele Lösungen es gibt. Wenn man bei der Anwendung dieser Formel eine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen muss, dann gibt es keine  reellen Lösungen. Sonst gibt es zwei, die aber nicht unbedingt verschieden sein müssen (doppelte Nullstelle). 


Kommentar von lol07 ,

gute Antwort

Antwort
von Treetop, 33

Die Anzahl der Nullstellen ist gleich der höchsten Potenz in der Funktion, d.h. wenn das höchste x hoch 3 ist, hast du drei etc. Bei quadratischen sind es also stets 2 Nullstellen.

Es gibt eine statische Formel, mit der man die Nullstellen bei quadratischen Funktionen berechnen kann, die auch Mitternachtsformel genannt wird. Einfach googeln, es bringt nichts, die hier in das Textformat zu quetschen. Da musst du einfach nur Werte einsetzen und bekommst die Nullstellen ganz bequem raus.

Kommentar von rofl07 ,

Aber bei einer Parabel gibt es nicht stets zwei Nullstellen! Geh mal auf www.mathe-fa.de und gebe bei f(x)=x²+5x+35 ein. Dann wirst du bemerken, dass diese Parabel gar keine Nullstelle besitzt.

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Jede quadratische Funktion hat zwei Nullstellen. Der Witz ist nur, dass die erstens nicht verschieden sein müssen und dass sie zweitens auch nicht reell sein müssen (sondern komplex). 

Aber sie existieren. 

Kommentar von Treetop ,

Ganz richtig. Z.B. ist ja auch die Nullstelle des Minimums einer Parabel, die die x-Achse tangiert bzw. "touchiert" eine doppelte und stellt eigentlich vereinfacht gesehen zwei Nullstellen dar.

Kommentar von rofl07 ,

Ja gut, wenn du komplexe Zahlen meinst, stimmt das schon, nur bei reellen Zahlen stimmt das nicht. Ich gehe immer stets von reellen Zahlen aus.

Kommentar von lol07 ,

In dem Fall meinte ich, wie viele reelle Nullstellen existieren.

Antwort
von MatheDelfin, 22

Eine quadratische Funktion hat immer 2 Nullstellen(In den komplexen Zahlen). Google mal Mitternachtformel oder abc-Formel.

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