Frage von Masch2014, 59

Wie kann ich bei dieser Aufgabe zeigen, ob die Reihe konvergent ist?

Ich weis nicht genau wie man bei dieser Aufgabe die Konvergenz zeigen kann. Mit welcher Regel kann ich die Konvergenz zeigen? Bedanke mich schon im Voraus für jede Hilfe :)

Antwort
von isbowhten, 31

ist zwar alles richtig, was musicmaker201 gesagt hat, aber ich denke, man sollte etwas anderes verwenden, mit dme man auch bei der teilaufgabe b) weiter kommt. (aber ich komme auf keinen trick, um den aufwand möglichst gering zu halten)

ich verwende das majorantenkriterium:

|(-1)^k/(k+1) (1/3)^k| <= 1/(1+1) (1/3)^k <= 1/2 * (1/3)^k. das ist 1/2 * geometrische reihe mit q=1/3. die "größre" reihe konvergiert also. damit ist nach dem majorantenkriterium die eigentliche reihe ABSOLUT KONVERGENT, was eine stärkere aussage ist als man mit dem leibniz-kriterium treffen könnte. (das ist nicht wichtig, aber von vorteil)

EINE von vielen möglichkeiten für die b) ist folgende, aber diese ist noch nicht sonderlich gut. sie zeigt aber das generelle vorgehen, was nötig ist, falls man nichts genaueres über reihen von diesem typ kennt!

ich berechne nun die reihe, indem ich je 2 aufeinanderfolgende summanden zusammenfasse. (wegen der absoluten konvergenz könnte ich auch die reihenfolgevertauschen, aber das mache ich NICHT. ich lasse die reihenfolge gleich)

summe_k=0^unendlich  [1/(2k+1) 1/3^(2k) - 1/(2k+2)1/3^(2k+1)]

= summe... [1/3^(2k) ( 1/(2k+1)-1/3 * 1/(2k+2) )]

hauptnenner: => [6(k+1)-(2k+1)] / [6(k+1) * (2k+1)] = [4k+5]/[6(k+1)(2k+1)]

betrachte ich nun den tail 1/3^(2k)=1/9^k, dann hätte ich eine geometrische reihe, also grenzwert 1/(1-1/9)= 9/8.

ich will nun die summe in 2 summen aufteilen. eine endliche summe von 0 bis N, wobei N noch zu bestimmen ist, und eine unendliche summe von N+1 bis unendlich. letztere summe kann ich NICHT ausrechnen, also schätze ich ab! der andere term unter dem stichpunkt "hauptnenner" ist eine monoton fallende nullfolge (habe ich jetzt nicht überprüft, aber für große k stimmt das sicher, da es sich wie 1/k verhält). daher mach ich den summanden größer, falls ich das k auf N setze für alle summanden der unendlichen summe. der ganze faktor ist dann aber eine ZAHL, also kann ich mit dem wissen, dass die geomtetrische reihe <= 9/8 ist die unendliche summe abschätzen zu (9/8-[1-1/9^(N+1)][1-1/9]) * ZAHL (geometrische summenformel verwendet um die ersten endlich vielen summanden abzuziehen). diese ZAHL kann aber beliebig klein sein, falls N nur groß genug ist. weiter ausgerechnet ergibt sich:

1/8+1/(8*9^N)

weiter beobachte ich, dass auf die art und weise jeder summand positiv ist, also die partialsummen monoton steigen. wenn ich die endliche summe berechne, dann bin ich UNTER der grenzwert. wenn ich die abgeschätzte unendliche reihe ausrechne, dann bin ich ÜBER dem grenzwert. wenn ich nun also die unenliche summe abschätzen kann durch 10^(-3), dann muss der grenzwert, der ja noch "vor" dem schätzwert liegt, auch um höchstens 10^(-3) von der endlichen summe abweichen.

ich schätze zuerst den teil unter "hauptnenner" weiter ab:

[4k+5]/[6(k+1)(2k+1)]<=[5k+5]/[6(k+1)(2k)]<=5/(12k)<=5/(12N)

zusammen-multipliziert ergibt sich also 1/8(1+1/9^N) * 5/(12N) = 5/96 * (1/N+1/(N9^N)). das kann man natürlich weiter abschätzen, damit man es einfacher nach N auflösen kann. an dieser stelle kommt man auf N=53, was bereits viel zu viel ist. das entspräche in der "ursprünglichen" summe dem aufsummieren bis 106 !!! in wahrheit reicht aber als grenze die 6 aus. (durch ausprobieren mit dem computer)

=> ihr habt wohl irgendwas gelernt, wie man das besser ausrechnet.

Antwort
von musicmaker201, 59

Verusch es mal mit dem Leibnitzkriterium.

Kommentar von Masch2014 ,

Okay, dann weiß ich schonmal, dass es sich um eine alternierende Harmonische Reihe handelt, richtig? Die alternierende Harmonische Reihe ist zudem Konvergent wegen des Leipniz Kriteriums. Reicht dies als Begründung?

Kommentar von iokii ,

Es ist alternierend, du musst also nur noch das Leibnizkriterium überprüfen (ob die Folge eine Nullfolge ist). Harmonisch sieht das nicht aus.

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